Nos exercícios a seguir encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0^+ ln xx

Passo 1

Nesse exercício, temos que calcular o limite limxto0^+ln xx. O conteúdo envolve limites e a Regra de L’Hôpital, mas vamos ver que há um método mais direto.

Passo 2

Vamos analisar separadamente o numerador e o denominador quando xto0^+: ln xto -infty e xto0^+. Assim a expressão assume a forma -infty/0^+.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital só pode ser aplicada às formas indeterminadas 0/0 ou infty/infty. Aqui temos -infty/0^+, que não se enquadra, então não podemos usar L’Hôpital.

Passo 4

Para concluir o limite, fazemos a substituição x=tfrac1t, de modo que tto+infty quando xto0^+. Então
ln xx=lnl(tfrac1tr)tfrac1t=-ln ttfrac1t=-,tln t

Passo 5

Como tto+infty, temos tln tto+infty. Logo -tln tto-infty, o que implica que o limite procurado é -infty.

Resposta

-\infty

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