Nos exercícios a seguir, mostre que a equação diferencial é exata e resolva apli-cando as condições iniciais indicadas…
ld yd x=-(e^x+y)(2+x+y e^y) y(0)=1

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDO
dydx = -e^x + y2 + x + y e^y
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é equação diferencial exata, então vamos reescrever em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e mostrar que é exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = e^x + y, N(x,y) = 2 + x + y e^y
Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1,
logo partial M/partial y = partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y)
Integramos em x:
psi(x,y) = integral (e^x + y),dx = e^x + x,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial psipartial y = x + h'(y)
que deve ser igual a N(x,y). Assim
x + h'(y) = 2 + x + y e^y Longrightarrow h'(y) = 2 + y e^y
Integrando em y:
h(y) = integral (2 + y e^y),dy = 2y + (y-1)e^y + C1
Constante C1 será absorvida em C.

Passo 5

A solução geral implícita fica
psi(x,y) = e^x + x,y + 2y + (y-1)e^y = C

Passo 6

Aplicando y(0)=1:
e^0 + 0cdot1 + 2cdot1 + (1-1)e^1 = 1 + 2 + 0 = 3,
logo C=3. A solução particular satisfaz
e^x + x,y + 2y + (y-1)e^y = 3

Resposta

e^x + x,y + 2y + (y-1)e^y = 3

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