Os exercícios a seguir referem-se ao estudo de uma transformação linear T.
(a) Mostre que B=1-t, t+t^2-2 t^3 é LI e obtenha uma base B^prime de R[t]3, tal que B subset B^prime, isto é, B=1-t, t+t^2-2 t^3, v1, v2.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial R[t]3 das polinômios de grau no máximo 3 (dimensão 4) e nos dá o conjunto
B = ,1 - t,;t + t^2 - 2t^3
Precisamos (i) mostrar que esses dois polinômios são linearmente independentes e (ii) completar B com mais dois polinômios v1,v2 de modo a obter uma base B'=1-t,;t+t^2-2t^3,;v1,;v2 de R[t]3.

Passo 2

Para mostrar que 1-t e t+t^2-2t^3 são L.I., suponha que existam escalares alpha,betainR tais que
alpha,(1 - t);+;beta,(t + t^2 - 2t^3) ;=;0(polinômio nulo) ô
Expandindo,
alpha +(-alpha + beta),t + beta,t^2 -2beta,t^3 = 0
Como o polinômio à esquerda é identicamente zero, seus coeficientes devem se anular:
alpha = 0, -alpha + beta = 0, beta = 0, -2beta = 0
Daí alpha=0 e beta=0, logo os dois polinômios são linearmente independentes.

Passo 3

Como dimR[t]3=4, podemos estender qualquer conjunto L.I. de dois vetores a uma base, acrescentando dois vetores que não pertençam ao espaço gerado pelos primeiros. Uma escolha simples é
v1 = t^2, v2 = t^3
Assim propomos
B' = ,1 - t,;t + t^2 - 2t^3,;t^2,;t^3

Passo 4

Basta verificar que B' é L.I. (então, por ter 4 elementos em espaço de dimensão 4, é base). Suponha
alpha1(1-t) + alpha2(t+t^2-2t^3) + alpha3t^2 + alpha4t^3 = 0
Agrupando coeficientes:
l[alpha1r] + l[-alpha1+alpha2r],t + l[alpha2+alpha3r],t^2 + l[-2alpha2+alpha4r],t^3 =0
Assim
alpha1=0, -alpha1+alpha2=0impliesalpha2=0, alpha2+alpha3=0impliesalpha3=0, -2alpha2+alpha4=0impliesalpha4=0
Logo todos os alphai são zero e B' é L.I., portanto base de R[t]3.

Resposta

A base requerida é
B' = ,1 - t,;t + t^2 - 2t^3,;t^2,;t^3

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