Os exercícios a seguir referem-se ao estudo de uma transformação linear
.
(a) Mostre que
é LI e obtenha uma base
de
, tal que
, isto é,
.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
das polinômios de grau no máximo 3 (dimensão 4) e nos dá o conjunto
Precisamos (i) mostrar que esses dois polinômios são linearmente independentes e (ii) completar
com mais dois polinômios
de modo a obter uma base
de
.
Passo 2
Para mostrar que
e
são L.I., suponha que existam escalares
tais que
Expandindo,
Como o polinômio à esquerda é identicamente zero, seus coeficientes devem se anular:
Daí
e
, logo os dois polinômios são linearmente independentes.
Passo 3
Como
, podemos estender qualquer conjunto L.I. de dois vetores a uma base, acrescentando dois vetores que não pertençam ao espaço gerado pelos primeiros. Uma escolha simples é
Assim propomos
Passo 4
Basta verificar que
é L.I. (então, por ter 4 elementos em espaço de dimensão 4, é base). Suponha
Agrupando coeficientes:
Assim
Logo todos os
são zero e
é L.I., portanto base de
.
Resposta
A base requerida é