- (1.5 pontos) Seja
com as operagôes de adição e de multiplicação por escalar definidas por
O conjunto
é um espaço vetorial sobre
?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
e o “produto por escalar”
Para ser espaço vetorial sobre
, é preciso que
seja um grupo abeliano e que o produto escalar satisfaça certos axiomas de compatibilidade.
Passo 2
Verificamos a existência do elemento neutro aditivo
.
Para todo devemos ter
Para todo
Do primeiro requisito:
Mas então
Logo não existe elemento neutro bilateral em
.
Passo 3
Além disso, a operação
falha em ser comutativa:
não coincide, em geral, com
pois
salvo em casos especiais. Portanto
não é grupo abeliano.
Passo 4
Como não se cumpre sequer a existência de neutro bilateral e a comutatividade do “aditivo”, já falhamos nos axiomas básicos de espaço vetorial. Não há necessidade de checar os outros axiomas.
Resposta
Não.