1. (1.5 pontos) Seja V=(x, y) in R^2 mid x, y in R com as operagôes de adição e de multiplicação por escalar definidas por
(x1, y1) oplus(x2, y2) & =(x1-x2, y1+y2) alpha odot(x, y) & =(alpha x1, y), alpha in R
O conjunto V é um espaço vetorial sobre R?

Passo 1

O enunciado define o conjunto V=(x,y)inR^2 com a “adição”
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1-x2,;y1+y2)
e o “produto por escalar”
alphaodot(x,y)=(alpha x,;y)
Para ser espaço vetorial sobre R, é preciso que (V,oplus) seja um grupo abeliano e que o produto escalar satisfaça certos axiomas de compatibilidade.

Passo 2

Verificamos a existência do elemento neutro aditivo e=(e1,e2).
Para todo (x,y)in V devemos ter
(x,y)oplus(e1,e2)=(x,y) e (e1,e2)oplus(x,y)=(x,y)
Do primeiro requisito:
(x,y)oplus(e1,e2)=(x-e1,;y+e2)=(x,y) implies e1=0,;e2=0
Mas então
(0,0)oplus(x,y)=(-x,;y)neq(x,y) para (xneq0)
Logo não existe elemento neutro bilateral em (V,oplus).

Passo 3

Além disso, a operação oplus falha em ser comutativa:
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1-x2,;y1+y2)
não coincide, em geral, com
(x2,y2)oplus(x1,y1)=(x2-x1,;y2+y1),
pois x1-x2neq x2-x1 salvo em casos especiais. Portanto (V,oplus) não é grupo abeliano.

Passo 4

Como não se cumpre sequer a existência de neutro bilateral e a comutatividade do “aditivo”, já falhamos nos axiomas básicos de espaço vetorial. Não há necessidade de checar os outros axiomas.

Resposta

Não.

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