(2.5 pontos) Sejam e os seguintes subespaços vetoriais de
Determine uma base e a dimensão de , uma base de que contenha a base de e a dimensão .
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de : e .
Precisamos achar base e dimensão de , de , de , uma base de que estenda a base de e a dimensão de .
Conteúdo: subespaços vetoriais, soma, interseção e extensão de base.
Passo 2
Para
cuja única solução é é base de e .
Passo 3
Para , resolvemos
em função de livres. Temos
então
Assim uma base de é e .
Passo 4
Para achar
entra em , as duas equações dão o sistema
cuja única solução é .
Pela fórmula , vem . Como tem dimensão , concluímos .
Uma base de é simplesmente , que tem vetores independentes.
Passo 5
Como U+W=R^4, a base u1,u2,w1,w2 já é uma base de R^4 que contém a base de U.
Resposta
U
base (1,2,1,3),(3,1,-1,4), dim U=2.
W
base (1,0,1,-1),(0,1,-1,3), dim W=2.
U+W
base (1,2,1,3),(3,1,-1,4),(1,0,1,-1),(0,1,-1,3), dim(U+W)=4.
Base de R^4 que contém a base de U: (1,2,1,3),(3,1,-1,4),(1,0,1,-1),(0,1,-1,3). dim(Ucap W)=0.