1. (2.5 pontos) Sejam U e W os seguintes subespaços vetoriais de R^4
U & =[(1,2,1,3),(3,1,-1,4)] W & =(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=z e x-3 y+t=0
Determine uma base e a dimensão de U, W, U+W, uma base de R^4 que contenha a base de U e a dimensão U cap W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
U=l[(1,2,1,3),(3,1,-1,4)r] e
W=(x,y,z,t)inR^4mid x-y=z,;x-3y+t=0.
Precisamos achar base e dimensão de U, de W, de U+W, uma base de R^4 que estenda a base de U e a dimensão de Ucap W.
Conteúdo: subespaços vetoriais, soma, interseção e extensão de base.

Passo 2

Para
cuja única solução é é base de e
.

Passo 3

Para W, resolvemos
x-y=z, x-3y+t=0
em função de x,y livres. Temos
z=x-y, t=-x+3y,
então
(x,y,z,t)=x(1,0,1,-1)+y(0,1,-1,3)
Assim uma base de W é
w1=(1,0,1,-1),,w2=(0,1,-1,3) e
dim W=2.

Passo 4

Para achar
entra em , as duas equações dão o sistema
cuja única solução é .
Pela fórmula , vem
. Como tem dimensão , concluímos .
Uma base de é simplesmente
, que tem vetores independentes.

Passo 5

Como U+W=R^4, a base
u1,u2,w1,w2 já é uma base de R^4 que contém a base de U.

Resposta

U
base (1,2,1,3),(3,1,-1,4), dim U=2.
W
base (1,0,1,-1),(0,1,-1,3), dim W=2.
U+W
base (1,2,1,3),(3,1,-1,4),(1,0,1,-1),(0,1,-1,3), dim(U+W)=4.
Base de R^4 que contém a base de U:
(1,2,1,3),(3,1,-1,4),(1,0,1,-1),(0,1,-1,3).
dim(Ucap W)=0.

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