Nos exercícios a seguir, resolva os problemas de valor inicial indicados.
ld yd x=1+2 y y(0)=32

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
d yd x = 1 + 2y, y(0) = 32,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos primeiro escrever na forma padrão e depois usar o fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão
d yd x - 2y = 1
O fator integrante é
mu(x) = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(x), obtemos
e^-2xd yd x - 2e^-2xy = e^-2x
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^-2x, ou seja,
ddxl(y,e^-2xr) = e^-2x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-2x = integral e^-2x,dx = -tfrac12,e^-2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, temos
y(x) = -tfrac12 + C,e^2x
Para determinar C, aplicamos a condição inicial y(0)=tfrac32:
tfrac32 = -tfrac12 + C Longrightarrow C = 2

Resposta

y(x) = -tfrac12 + 2,e^2x

Exercícios relacionados