Exercício 3.7. Determine se as seguintes séries convergem. Em caso positivo, calcule suas somas.
sumn=1^infty(10-nn)^n.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyl(10-nnr)^n
O conteúdo principal aqui é o teste da nulidade do termo geral, que diz que, se a série
sum an converge, então necessariamente
limntoinftyan=0. Se esse limite for diferente de zero ou não existir, a série diverge.

Passo 2

Definimos
an = l(10-nnr)^n = l(-1 + 10nr)^n = (-1)^nl(1 - 10nr)^n
Sabemos que
limntoinftyl(1 - 10nr)^n = e^-10
Logo, para n grande,
an approx (-1)^n e^-10,
isto é, an oscila entre +e^-10 e -e^-10.

Passo 3

Como
limntoinftyan
não é zero (na verdade não existe, mas tem módulo igual a e^-10neq0), falha o teste da nulidade. Portanto a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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