Nos exercícios a seguir, resolva as equações diferenciais separáveis.
d yd x=4 yx+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
dydx = 4,yx+1
O conteúdo aqui é “equações de variáveis separáveis”: vamos isolar y de um lado e x do outro e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
1y,dy = 4x+1,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 4x+1,dx
Pelo fato de integral y^-1dy=ln|y| e integral (x+1)^-1dx=ln|x+1|, obtemos
ln|y| = 4,ln|x+1| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponencie para eliminar o logaritmo. Primeiro note que
ln|y| = lnl|(x+1)^4r| + C
é equivalente a
|y| = e^C,(x+1)^4
Chamando C1 = pm e^C (constante real arbitrária), chegamos à forma mais simples da solução:

Passo 5

A solução geral é
y = C1,(x+1)^4,
onde C1 é constante real.

Resposta

y = C,(x+1)^4, CinR

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