Uma indústria química deseja maximizar a produção de um reagente
, cuja taxa de produção
, em
, depende da temperatura
(em graus Celsius) e da concentração de um catalisador y (em mol/L), segundo a função:
Sabe-se que a temperatura
deve ser mantida entre
e
, e a concentração y entre 0 e
.
(a) Determine os pontos críticos da função
no domínio indicado.
(b) Classifique esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
(c) Qual é a temperatura e a concentração ideais para maximizar a taxa de produção
?
Observação: Esse tipo de modelo é uma simplificação inspirada em reações catalíticas reais onde a taxa de produção é afetada por fatores térmicos e concentração de reagentes.
(a) Determine os pontos críticos da função
(b) Classifique esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
(c) Qual é a temperatura e a concentração ideais para maximizar a taxa de produção
Passo 1
O enunciado nos dá a taxa de produção
para
em
.
Conteúdo: otimização de função de duas variáveis com restrições de fronteira.
Precisaremos calcular as derivadas parciais, achar pontos críticos (interiores e de fronteira) e usar o teste de Hessiana (ou argumento de fronteira) para classificá-los.
Conteúdo: otimização de função de duas variáveis com restrições de fronteira.
Precisaremos calcular as derivadas parciais, achar pontos críticos (interiores e de fronteira) e usar o teste de Hessiana (ou argumento de fronteira) para classificá-los.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. É mais simples usar a função auxiliar
pois
equivale a
.
Passo 3
Impondo
e
:
A única solução admissível em
é
.
Passo 4
Verificação nas fronteiras:
- Se
ou , então . - Em
, é muito pequeno para todo . - Em
com , fixamos e maximizamos : daí vem novamente .
Logo não surge outro ponto interior de fronteira distinto de.
Passo 5
Classificação em
: no ponto
Em
temos
e determinante
. Assim,
(e portanto
) tem máximo local ali.
Resposta
A única condição que maximiza
no domínio é
o que corresponde ao máximo global de
.