Uma indústria química deseja maximizar a produção de um reagente R, cuja taxa de produção P(x, y), em mol / h, depende da temperatura x (em graus Celsius) e da concentração de um catalisador y (em mol/L), segundo a função:
P(x, y)=x y e^-0,01 x^2-0,02 y^2
Sabe-se que a temperatura x deve ser mantida entre 0^circ C e 100^circ C, e a concentração y entre 0 e 5 mol / L.
(a) Determine os pontos críticos da função P(x, y) no domínio indicado.
(b) Classifique esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
(c) Qual é a temperatura e a concentração ideais para maximizar a taxa de produção P ?
Observação: Esse tipo de modelo é uma simplificação inspirada em reações catalíticas reais onde a taxa de produção é afetada por fatores térmicos e concentração de reagentes.

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de produção
P(x,y)=x,y,e^-0,01x^2-0,02y^2
para (x,y) em [0,100]times[0,5].
Conteúdo: otimização de função de duas variáveis com restrições de fronteira.
Precisaremos calcular as derivadas parciais, achar pontos críticos (interiores e de fronteira) e usar o teste de Hessiana (ou argumento de fronteira) para classificá-los.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de P. É mais simples usar a função auxiliar
f(x,y)=ln P(x,y)=ln x+ln y-0,01x^2-0,02y^2,
pois nabla P=0 equivale a nabla f=0.
partial fpartial x =1x-0,02,x, partial fpartial y =1y-0,04,y

Passo 3

Impondo partial f/partial x=0 e partial f/partial y=0:
1x-0,02x=0Longrightarrow x^2=10,02=50 Longrightarrow x=raiz50approx7,07,
1y-0,04y=0Longrightarrow y^2=10,04=25 Longrightarrow y=5
A única solução admissível em [0,100]times[0,5] é l(raiz50,5r).

Passo 4

Verificação nas fronteiras:
  • Se x=0 ou y=0, então P=0.
  • Em x=100, P(100,y)=100,y,e^-100-0,02y^2 é muito pequeno para todo y.
  • Em y=5 com xin[0,100], fixamos y=5 e maximizamos x,e^-0,01x^2: daí vem novamente x=raiz50.
    Logo não surge outro ponto interior de fronteira distinto de l(raiz50,5r).

Passo 5

Classificação em l(raiz50,5r): no ponto
fxx=-1x^2-0,02, fyy=-1y^2-0,04, fxy=0
Em x=raiz50,y=5 temos
fxx=-150-0,02=-0,04<0, fyy=-125-0,04=-0,08<0
e determinante D=fxxfyy>0. Assim, f (e portanto P) tem máximo local ali.

Resposta

A única condição que maximiza P no domínio é
x=raiz50approx7,07^circ C, y=5 mol/L,
o que corresponde ao máximo global de P.

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