Questão 2: Seja integral triplaT f(x, y, z) d V, onde T é a região interior ao parabolóide x^2+y^2=z e à esfera x^2+y^2+z^2=6. Marque a opção correta:
а) integral-pi2^pi2 integral0^5 integralr^2^raiz1-r^2 f(r, theta, z) r d z d r d theta;
b) integral0^pi2 integral0^3 integral0^raiz1-r^2 f(r, theta, z) r d z d r d theta;
c) integral0^pi integral0^5) integral-raiz1-r^2^raiz1-r^2 f(r, theta, z) d z d r d theta;
d) integral0^2 pi integral0^5 integralr^2^raiz1-r^2 f(r, theta, z) r d z d r d theta;
е) integral-pi2^pi2 integral0^6 integralr^raiz1-r^2 f(r, theta, z) d z d r d theta;

Passo 1

O enunciado pede a parametrização do volume
T=(x,y,z)mid x^2+y^2<= z,;x^2+y^2+z^2<=6
para escrever
integral triplaTf(x,y,z),dV
em coordenadas cilíndricas (r,theta,z). Vamos usar
x=rcostheta, y=rsintheta, dV=r,dz,dr,dtheta
e encontrar os limites de r,theta,z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a superfície paraboloide é
z=r^2,
e a esfera é
r^2+z^2=6 Longrightarrow z=pmraiz6-r^2
O volume comum fica entre o “fundo” dado por z=r^2 e o “teto” dado pelo ramo superior
z=raiz6-r^2

Passo 3

Para determinar até que valor de r a região existe, igualamos as duas superfícies:
r^2=raiz6-r^2 Longrightarrow r^4+r^2-6=0 Longrightarrow r^2=2 Longrightarrow 0<= r<=raiz2
O ângulo theta percorre toda volta, de 0 a 2pi.

Passo 4

Com isso, a integral tripla fica
integraltheta=0^2pi integralr=0^raiz2 integralz=r^2^raiz6-r^2 f(r,theta,z); r,dz,dr,dtheta

Resposta

(d) integral0^2piintegral0^5integralr^2^raiz1-r^2f(r,theta,z),r,dz,dr,dtheta

Exercícios relacionados