Nos exercícios a seguir, resolva as equações diferenciais separáveis.
e^y d yd x=2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
e^y,dydx=2x
que é do tipo separável. Para resolver, vamos separar as variáveis x e y em lados opostos da equação e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por dx e dividindo por e^y:
e^y,dy = 2x,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral e^y,dy = integral 2x,dx
No lado esquerdo, integral e^y,dy = e^y. No lado direito, integral 2x,dx = x^2 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados das integrais, obtemos
e^y = x^2 + C
Para isolar y, aplicamos o logaritmo natural:
y = lnl(x^2 + Cr)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = lnl(x^2 + Cr),
onde C é a constante de integração.

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