Nos exercícios a seguir, resolva os problemas de valor inicial indicados.
l(x+1) d yd x=y+2 y(0)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
(x+1)dydx=y+2, y(0)=2,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e forma linear em y. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no “standard form”
dydx-1x+1,y=2x+1
Aqui identificamos
p(x)=-1x+1 e g(x)=2x+1

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(-integral1x+1,dxr) =expl(-ln|x+1|r) =1x+1,
considerando x>-1 para incluir x=0.

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
1x+1,dydx-1(x+1)^2,y =2(x+1)^2,
que é equivalente a
ddxl(yx+1r) =2(x+1)^2
Agora integramos ambos os lados em x:
yx+1=integral2(x+1)^2,dx =-2x+1+C

Passo 5

Multiplicando por (x+1) e isolando y
y=-2+C(x+1)
Impondo a condição inicial y(0)=2 resulta em
2=-2+Ccdot1 Rightarrow C=4
Logo a solução geral ajustada à condição inicial é
y(x)= -2 + 4(x+1) = 4x+2

Resposta

y(x)=4x+2

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