Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
l(x+1) d yd x+y=ln x y(1)=10

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+1),dydx + y = ln x
com condição inicial y(1)=10.
O conteúdo é resolver uma equação linear do tipo
dydx+P(x)y=Q(x)
usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x+1:
dydx + 1x+1,y = ln xx+1
Aqui P(x)=tfrac1x+1 e Q(x)=tfracln xx+1.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 1x+1,dxr) = exp(ln|x+1|) = x+1

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
(x+1)dydx + y = ln x ;Longrightarrow; ddxl((x+1)yr) = ln x
Integramos em ambos os lados:
(x+1)y = integral ln x,dx = xln x - x + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=10:
(1+1)cdot 10 = 1cdotln 1 - 1 + C ;Longrightarrow; 20 = 0 - 1 + C ;Longrightarrow; C = 21

Passo 6

Substituindo C=21 na solução geral, isolamos y:
y(x) = xln x - x + 21x+1

Resposta

y(x) = xln x - x + 21x+1

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