Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
ly^prime+(tg x) y=cos ^2 x y(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + (tan x),y = cos^2 x
sujeita à condição inicial y(0)=-1. O conteúdo é solução de equações lineares usando fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = exp!gl(integral tan x,dxgr)
Como integral tan x,dx = -ln|cos x|, segue
mu(x) = e^-ln|cos x| = 1cos x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
1cos x,y' + tan xcos x,y = cos^2 xcos x Longrightarrow ddx!l(y,mu(x)r) = cos x
Integramos ambos os lados:
ycdot1cos x = integral cos x,dx + C = sin x + C

Passo 4

Isolando y, vem
y = cos x,(sin x + C) = sin xcos x + Ccos x

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=-1. Em x=0 temos sin0cos0=0 e cos0=1, logo
y(0) = 0 + Ccdot1 = C = -1
Portanto a solução é
y(x) = sin xcos x ;-;cos x = cos x,(sin x - 1)

Resposta

y(x) = sin xcos x - cos x

Exercícios relacionados