Sejam H e K subgrupos normais de um grupo G, tais que H cap K=e. se h1, h2, in H, k1, k2 in K e h1 k1=h2 k2 prove que h1=h2 e k1=k2.

Passo 1

O enunciado: H e K são subgrupos normais de G com H cap K = e. Para h1,h2in H e k1,k2in K, dado que
h1k1=h2k2, queremos mostrar que h1=h2 e k1=k2. Usaremos operações em grupos, fechamento de subgrupos normais e a intersecção trivial.

Passo 2

Multiplicamos a igualdade h1k1=h2k2 à esquerda por h2^-1 e à direita por k1^-1. Obtemos
h2^-1h1=k2k1^-1

Passo 3

Como H é subgrupo normal, h2^-1h1in H. De modo análogo, k2k1^-1in K, pois K também é normal (fechado sob produto e inverso).

Passo 4

O elemento comum satisfaz
h2^-1h1=k2k1^-1in Hcap K=e
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h2^-1h1=e Longrightarrow h1=h2,
e
k2k1^-1=e Longrightarrow k2=k1

Resposta

h1=h2 e k1=k2.

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