Nos exercícios a seguir, resolva os problemas de valor inicial indicados.
lx^4 y^2 d x=-x^3 y^3 d y y(2)=4

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
x^4y^2,dx = -x^3y^3,dy,
com condição y(2)=4. O conteúdo é EDO separável, e vamos precisar separar variáveis e integrar.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^3y^2 (supondo xneq0 e yneq0), obtemos a forma separável:
x,dx = -y,dy

Passo 3

Integramos cada lado:
integral x,dx ;=; -integral y,dy
que leva a
12x^2 = -12y^2 + C
Multiplicando por 2 e rearranjando, fica
x^2 + y^2 = C'

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(2)=4:
2^2 + 4^2 = C' Longrightarrow C' = 4 + 16 = 20
Logo a solução implícita é
x^2 + y^2 = 20

Passo 5

Passando para a forma explícita em y:
y^2 = 20 - x^2 Longrightarrow y = pmraiz20 - x^2
Como y(2)=4>0, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x) = raiz20 - x^2

Exercícios relacionados