Nos exercícios a seguir, resolva os problemas de valor inicial indicados.
ld yd x=x raizy y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx = x,raizy, y(0)=0
O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis; vamos separar as variáveis y e x, integrar, encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Separemos as variáveis escrevendo
dyraizy = x,dx
Agora integramos os dois lados:
integral y^-tfrac12,dy = integral x,dx

Passo 3

As integrais são
integral y^-tfrac12,dy = 2raizy + C1, integral x,dx = x^22 + C2
Ajustando as constantes num único C, obtemos
2raizy = x^22 + C
Daí
raizy = x^24 + C2,
e portanto a solução geral é
y = l(tfracx^24 + Kr)^2,
onde K = C/2.

Passo 4

Impondo y(0)=0, temos
0 = l(tfrac0^24 + Kr)^2 = K^2 Longrightarrow K=0
Então surge a solução não-trivial
y(x) = l(tfracx^24r)^2 = x^416

Passo 5

Note que yequiv0 também satisfaz a equação diferencial e a condição y(0)=0. De fato, como partial f/partial y = x/(2raizy) não é limitada em y=0, o teorema de unicidade falha aqui e aparecem duas soluções do IVP:
  1. A trivial y(x)=0.
  2. A não-trivial y(x)=x^4/16.

Resposta

As soluções do problema de valor inicial são
y(x)equiv 0 e y(x)=x^416

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