Verifique que os planos Pi1: 3 x-y+2 z=1 e Pi2: x+2 y-3 z=4 não são paralelos. A seguir, determine a equação da reta r interseção desses planos.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
Pi1:3x - y + 2z = 1 e Pi2:x + 2y - 3z = 4,
e pede para verificar que eles não são paralelos e achar a reta r que é a interseção entre eles. O conteúdo é interseção de planos no espaço, e vamos precisar dos vetores normais, do produto vetorial para obter a direção da reta e da solução de um sistema para achar um ponto sobre ela.

Passo 2

Os vetores normais são
n1 = (3,-1,2), n2 = (1,2,-3)
Como não existe escalar lambda tal que
(3,-1,2)=lambda,(1,2,-3),
os planos não são paralelos. A direção da reta de interseção é dada pelo produto vetorial
d = n1times n2 = i & j & k [6pt] 3 & -1 & 2 [3pt] 1 & 2 & -3 = (-1,,11,,7) ]

Passo 3

Para achar um ponto comum aos dois planos, basta resolver o sistema formado pelas equações, por exemplo fixando z=0:
3x - y = 1, x + 2y = 4
Da primeira equação vem y=3x-1. Substituindo na segunda:
x + 2(3x-1)=4 ;Longrightarrow; 7x=6 ;Longrightarrow; x=67, y=3cdot67-1=117
Assim um ponto da reta é
P!l(tfrac67,,tfrac117,,0r)

Passo 4

Com o ponto P e o vetor direção d montamos a equação paramétrica da reta r:
r:;(x,y,z) = l(tfrac67,tfrac117,0r) + t,(-1,,11,,7), tinR

Resposta

r:;(x,y,z)=l(tfrac67,tfrac117,0r)+t,(-1,11,7), tinR

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