Exercício 3.7. Determine se as seguintes séries convergem. Em caso positivo, calcule suas somas.
sumn=1^infty cos (n pi)raiz[n]e.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty cos(npi)raiz[n]e
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar, em particular, o teste da condição necessária de convergência, que diz que, se a série converge, o termo geral deve tender a zero.

Passo 2

Primeiro observe que
cos(npi)=(-1)^n,
e que
raiz[n]e=e^1/n
Logo o termo geral é
an = cos(npi)raiz[n]e =(-1)^n e^-1/n
Vamos calcular o limite de an quando ntoinfty:
limntoinftyan =limntoinfty(-1)^n e^-1/n =limntoinfty(-1)^ncdot1
pois limntoinftye^-1/n=e^0=1. Portanto
limntoinftyan = (-1)^n,
que não tende a zero, mas sim oscila entre -1 e 1.

Passo 3

Como o termo geral an não tende a zero, a série não pode convergir (condição necessária de convergência). Concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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