Utilize o método de fator integrante apropriado para encontrar a solução geral da seguinte EDO, e depois, faça um esboço das curvas integrais (campo de soluções):
t y^prime+2 y=sin (t), para t>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem t y'+2y=sin(t), com t>0, usando fator integrante e depois esboçar o campo de soluções.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t). Dividindo por t (que é >0):
y'+2ty=sin(t)t
Aqui P(t)=2/t e Q(t)=sin(t)/t.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral2t,dtr)=exp(2ln t)=t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^2:
t^2y'+2ty=t^2sin(t)t=tsin(t)
O lado esquerdo é a derivada de t^2y, ou seja:
ddt(t^2y)=tsin(t)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2y=integral tsin(t),dt
Para calcular integral tsin(t),dt, usamos integração por partes:
Escolha u=t, dv=sin(t)dt então du=dt, v=-cos(t). Logo
integral tsin(t),dt=-tcos(t)+integral cos(t),dt=-tcos(t)+sin(t)+C

Passo 6

Substituindo de volta:
t^2y=-tcos(t)+sin(t)+C
de onde se isola y:
y(t)=-tcos(t)+sin(t)+Ct^2

Passo 7

Esse é o quórum geral da solução. A parte homogênea é C/t^2 e a particular é -tcos(t)+sin(t)t^2. Para o esboço das curvas integrais, note que:
  • Para tto0^+, o termo C/t^2 domina e a solução tende a pminfty se Cneq0.
  • Para tto+infty, todos os termos tendem a zero, mas com oscilações vindas de cos(t) e sin(t).
    Portanto, no plano (t,y) as curvas partem do infinito em t=0^+, decaem oscilando em torno de zero e tendem a zero quando t cresce.

Passo 8

No esboço, para vários valores de C positivos e negativos, temos famílias de curvas que cruzam o eixo y em alturas diferentes perto de t=0 e todas se aproximam de y=0 conforme ttoinfty, com pequenas oscilações.

Resposta

y(t)=\dfrac{-t\cos(t)+\sin(t)+C}{t^2}

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