Utilize o método de fator integrante apropriado para encontrar a solução geral da seguinte EDO, e depois, faça um esboço das curvas integrais (campo de soluções):
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
, com
, usando fator integrante e depois esboçar o campo de soluções.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão
. Dividindo por
(que é >0):
Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, ou seja:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
, usamos integração por partes:
Escolha ,
então
,
. Logo
Escolha
Passo 6
Substituindo de volta:
de onde se isola
:
Passo 7
Esse é o quórum geral da solução. A parte homogênea é
e a particular é
. Para o esboço das curvas integrais, note que:
- Para
, o termo domina e a solução tende a se . - Para
, todos os termos tendem a zero, mas com oscilações vindas de e .
Portanto, no planoas curvas partem do infinito em , decaem oscilando em torno de zero e tendem a zero quando cresce.
Passo 8
No esboço, para vários valores de
positivos e negativos, temos famílias de curvas que cruzam o eixo
em alturas diferentes perto de
e todas se aproximam de
conforme
, com pequenas oscilações.
Resposta
y(t)=\dfrac{-t\cos(t)+\sin(t)+C}{t^2}