Nos exercícios de (1-4), seja o problema de se resolver f(x)=tan(x)-x=0.
Determine um intervalo
I=[a, b] ⊂ Domf que contenha a maior raiz exata negativa x=ξ e, sem resolver, estime o número mínimo de iterações necessárias para que a seqüência de aproximações gerada pelo Método da Bissecção convirja para x=ξ (admita ε=10−10 ).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar um intervalo I=[a,b]\subset\operatorname{Dom}f que contenha a maior raiz exata negativa \xi da equação f(x)=\tan(x)-x=0.
Sem resolver a raiz, estimar o número mínimo de iterações necessárias pelo Método da Bissecção para que a sequência de aproximações convirja a \xi com precisão \varepsilon=10^{-10}.
Informações dadas e úteis:
A função é f(x)=\tan(x)-x.
O domínio é \operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{(2k+1)\tfrac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\} (ou seja, exclui os pontos onde \tan tem assíntotas verticais).
Sabemos que existe uma raiz negativa mais próxima de zero (a primeira não nula à esquerda de 0) e ela está no intervalo entre as assíntotas consecutivas -\tfrac{3\pi}{2} e -\pi.
Precisamos fornecer um intervalo fechado I=[a,b] com a,b\in\operatorname{Dom}f que contenha essa raiz, e depois usar a fórmula de erro da bissecção para obter o número de iterações mínimo com \varepsilon=10^{-10}.
Passo 2
Escolha do intervalo I.
Raciocínio prático: a primeira raiz negativa não nula de \tan x = x está no intervalo \bigl(-\tfrac{3\pi}{2},-\pi\bigr) (isso decorre da periodicidade e do comportamento de \tan entre assíntotas). Para trabalhar sem tocar assíntotas, escolhemos um intervalo numérico interior a esse intervalo maior. Uma escolha simples e conveniente é
I=[-4{,}7,\,-4{,}3],
porque -\tfrac{3\pi}{2}\approx -4{,}71238898 e -\pi\approx -3{,}14159265, logo -4{,}7 e -4{,}3 estão ambos estritamente entre -\tfrac{3\pi}{2} e -\pi, isto é, ambos pertencem a \operatorname{Dom}f. Este intervalo contém a maior raiz negativa \xi (que é aproximadamente -4{,}493\ldots), sem que precisemos calcular a raiz.
Passo 3
Verificação de que I realmente contém uma raiz (sinal trocado).
Vamos avaliar o sinal de f nas extremidades para aplicar o teorema do valor intermediário. Usamos a periodicidade \tan(x+\pi)=\tan x para facilitar avaliações.
\tan(-1{,}55841) é um valor grande negativo (pois -1{,}55841 está muito próximo de -\tfrac{\pi}{2}), por exemplo \tan(-1{,}55841)\approx -57{,}5 (estimação pelo comportamento perto da assíntota). Assim
Como f(-4{,}7)<0 e f(-4{,}3)>0 e f é contínua em [-4{,}7,-4{,}3] (não há assíntotas dentro do intervalo), pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos uma raiz \xi em [-4{,}7,-4{,}3]. Essa é exatamente a maior raiz negativa buscada.
Passo 4
Breve aula: erro na Bissecção e critério de parada.
No método da bissecção começamos com um intervalo inicial de comprimento L_0=b-a. A cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é dividido por 2. Após n iterações o comprimento do intervalo é
L_n=\frac{L_0}{2^n}.
Se usamos o ponto médio m_n do intervalo atual como aproximação, a garantia clássica é