Pesquise sobre o Método de Briott-Ruffini-Horner para resolução de equações polinomiais e, com base nesse método, determinar todas as raízes da equação cúbica
utilizando o método de Newton-Raphson
para o cálculo da primeira raiz positiva.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio e pede todas as suas raízes:
Informações e pedidos importantes que o enunciado dá:
- O polinômio é de grau 3 com coeficientes
. - Deve-se utilizar o método de Newton–Raphson com
para calcular a primeira raiz positiva. - Com base no Método de Briott–Ruffini / Horner (divisão sintética), devemos obter as demais raízes a partir da primeira raiz encontrada.
- Objetivo final: determinar todas as raízes de
.
Passo 2
Breve explicação do Método de Newton–Raphson (aula rápida e prática).
- Ideia: se
é uma aproximação de uma raiz de , a reta tangente em corta o eixo em uma melhor aproximação . - Fórmula do método:
- Aqui
é a derivada de . Para nosso polinômio:
- Critério de parada que vou usar (pedido do enunciado): parar quando
com
. Ou seja, quando a mudança entre iterações for menor que
.
Passo 3
Escolha do palpite inicial
e razão da escolha (método prático).
- Observando sinais:
e . Logo existe uma raiz entre e . - Faço a escolha natural
(palpite positivo simples, dentro do intervalo onde há mudança de sinal).
Passo 4
Primeira iteração de Newton–Raphson (
).
- Calcular
e :
- Aplicando a fórmula:
- Diferença
. Ainda não podemos parar.
Passo 5
Segunda iteração de Newton–Raphson (
), com conta detalhada (para você poder reproduzir na prova).
- Primeiro calcule
e . Para é prático usar a expansão se quiser, mas eu apresento valores aproximados:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Atualização:
- Diferença
. Portanto atingimos o critério de parada pedido ( ). - Conclusão prática: a primeira raiz positiva (pela precisão exigida) é aproximadamente
ou, arredondando conforme o critério
,
.
Passo 6
Explicação do Método de Briott–Ruffini / Horner (divisão sintética) — passo-a-passo didático.
- Objetivo: dividir o polinômio
por para obter um polinômio de grau inferior (depressão) e assim encontrar as outras raízes. - Se os coeficientes de
são (aqui ) e é a raiz aproximada, o esquema de Horner calcula os coeficientes do polinômio resultante:
- Se
for uma raiz exata, o resto será . Se é aproximada, o resto será pequeno.]
Passo 7
Aplicando Horner com a raiz obtida por Newton (
) — contas detalhadas.
- Coeficientes iniciais:
- Calcule:
- O resto é muito pequeno (próximo de zero), confirmando que
é uma boa aproximação. - O polinômio depressado (grau 2) obtido é aproximadamente:
Passo 8
Resolver o quadrático resultante (fórmula de Bhaskara) para obter as outras duas raízes — cálculo cuidadoso.
- Fórmula:
para
. No nosso caso
e
.
- Discriminante:
- Raízes:
- Observação: essas aproximações coincidem com o que obtivemos pela divisão com
aproximado; porém é conveniente verificar se há alguma raiz simples exata (às vezes um valor inteiro ou racional corta o polinômio exatamente).
Passo 9
Verificação de raízes inteiras/racionais simples e fatoração exata com Briott–Ruffini/Horner.
- Teste rápido: avaliar
:
- Conclusão:
é raiz exata do polinômio. Com isso podemos dividir exatamente por usando Horner com :
- O polinômio depressado resultante é exatamente:
- Assim a fatoração exata é:
- As duas raízes restantes obtêm-se imediatamente:
- Comparando com as aproximações do passo anterior, vemos concordância: uma raiz é
exatamente e as outras duas são . A primeira positiva encontrada por Newton ( ) está dentro da tolerância da raiz exata .
Passo 10
Resumo final (o que você deve levar para a prova e como reproduzir o procedimento).
- Use Newton–Raphson para localizar numericamente uma raiz (aqui escolhemos
e paramos quando ); isso deu (ou, com a precisão pedida, ). - Com essa raiz, aplique Horner (divisão sintética) para obter um quadrático e resolvê-lo (ou, se surgir uma raiz inteira simples, testá-la diretamente — aqui
foi verificada exatamente). - No caso deste polinômio a fatoração exata é
, o que fornece as raízes exatas e finais.