Pesquise sobre o Método de Briott-Ruffini-Horner para resolução de equações polinomiais e, com base nesse método, determinar todas as raízes da equação cúbica
p(x)=x^{3}+2 x^{2}-0.85 x-1.7=0
utilizando o método de Newton-Raphson \operatorname{com} \varepsilon=10^{-2} para o cálculo da primeira raiz positiva.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio e pede todas as suas raízes:
p(x)=x^{3}+2x^{2}-0,85x-1,7=0.
Informações e pedidos importantes que o enunciado dá:
  • O polinômio é de grau 3 com coeficientes 1,\,2,\,-0,85,\,-1,7.
  • Deve-se utilizar o método de Newton–Raphson com \varepsilon=10^{-2} para calcular a primeira raiz positiva.
  • Com base no Método de Briott–Ruffini / Horner (divisão sintética), devemos obter as demais raízes a partir da primeira raiz encontrada.
  • Objetivo final: determinar todas as raízes de p(x).

Passo 2

Breve explicação do Método de Newton–Raphson (aula rápida e prática).
  • Ideia: se x_n é uma aproximação de uma raiz de p(x), a reta tangente em (x_n,p(x_n)) corta o eixo x em uma melhor aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula do método:
x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p'(x_n)}.
  • Aqui p'(x) é a derivada de p(x). Para nosso polinômio:
p'(x)=3x^{2}+4x-0,85.
  • Critério de parada que vou usar (pedido do enunciado): parar quando
|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon,
com \varepsilon=10^{-2}. Ou seja, quando a mudança entre iterações for menor que 0,01.

Passo 3

Escolha do palpite inicial x_0 e razão da escolha (método prático).
  • Observando sinais: p(0)=-1,7<0 e p(1)=1+2-0,85-1,7=0,45>0. Logo existe uma raiz entre 0 e 1.
  • Faço a escolha natural x_0=1 (palpite positivo simples, dentro do intervalo onde há mudança de sinal).

Passo 4

Primeira iteração de Newton–Raphson ( n=0).
  • Calcular p(1) e p'(1):
p(1)=1+2-0,85-1,7=0,45,
p'(1)=3\cdot1^{2}+4\cdot1-0,85=3+4-0,85=6,15.
  • Aplicando a fórmula:
x_{1}=1-\frac{0,45}{6,15}=1-0,0731707\approx0,9268293.
  • Diferença |x_{1}-x_{0}|=0,0731707>0,01. Ainda não podemos parar.

Passo 5

Segunda iteração de Newton–Raphson ( n=1), com conta detalhada (para você poder reproduzir na prova).
  • Primeiro calcule x_{1}^{2} e x_{1}^{3}. Para x_{1}=0,9268293 é prático usar a expansão (1-a) se quiser, mas eu apresento valores aproximados:
x_{1}^{2}\approx0,8590125,\qquad x_{1}^{3}\approx0,7961579.
  • Calcular p(x_{1}):
p(x_{1})=x_{1}^{3}+2x_{1}^{2}-0,85x_{1}-1,7
\approx0,7961579+2\cdot0,8590125-0,85\cdot0,9268293-1,7
\approx0,7961579+1,7180250-0,7878049-1,7\approx0,0263780.
  • Calcular p'(x_{1}):
p'(x_{1})=3x_{1}^{2}+4x_{1}-0,85
\approx3\cdot0,8590125+4\cdot0,9268293-0,85\approx5,4343547.
  • Atualização:
x_{2}=x_{1}-\frac{p(x_{1})}{p'(x_{1})}\approx0,9268293-\frac{0,0263780}{5,4343547}\approx0,9219753.
  • Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx0,004854<0,01. Portanto atingimos o critério de parada pedido ( \varepsilon=10^{-2}).
  • Conclusão prática: a primeira raiz positiva (pela precisão exigida) é aproximadamente
x\approx0,9219753,
ou, arredondando conforme o critério \varepsilon=10^{-2}, x\approx0,922.

Passo 6

Explicação do Método de Briott–Ruffini / Horner (divisão sintética) — passo-a-passo didático.
  • Objetivo: dividir o polinômio p(x) por (x-r) para obter um polinômio de grau inferior (depressão) e assim encontrar as outras raízes.
  • Se os coeficientes de p(x) são a_{3},a_{2},a_{1},a_{0} (aqui a_{3}=1,a_{2}=2,a_{1}=-0,85,a_{0}=-1,7) e r é a raiz aproximada, o esquema de Horner calcula os coeficientes b_{2},b_{1},b_{0} do polinômio resultante:
\begin{array}{l} b_{2}=a_{3},\\[4pt] b_{1}=a_{2}+r\cdot b_{2},\\[4pt] b_{0}=a_{1}+r\cdot b_{1},\\[4pt] \text{resto}=a_{0}+r\cdot b_{0}. \end{array}
  • Se r for uma raiz exata, o resto será 0. Se r é aproximada, o resto será pequeno.]

Passo 7

Aplicando Horner com a raiz obtida por Newton ( r\approx0,9219753) — contas detalhadas.
  • Coeficientes iniciais: a_{3}=1,\;a_{2}=2,\;a_{1}=-0,85,\;a_{0}=-1,7.
  • Calcule:
b_{2}=1,
b_{1}=2+0,9219753\cdot1=2,9219753,
b_{0}=-0,85+0,9219753\cdot2,9219753\approx-0,85+2,693191826\approx1,843191826,
\text{resto}=-1,7+0,9219753\cdot1,843191826\approx-1,7+1,69977736\approx-0,00022264.
  • O resto é muito pequeno (próximo de zero), confirmando que r é uma boa aproximação.
  • O polinômio depressado (grau 2) obtido é aproximadamente:
q(x)=x^{2}+2,9219753x+1,843191826.

Passo 8

Resolver o quadrático resultante (fórmula de Bhaskara) para obter as outras duas raízes — cálculo cuidadoso.
  • Fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4c}}{2},
para x^{2}+bx+c=0. No nosso caso b=2,9219753 e c=1,843191826.
  • Discriminante:
\Delta=b^{2}-4c\approx(2,9219753)^{2}-4\cdot1,843191826\approx8,5379412-7,3727673\approx1,1651739.
\sqrt{\Delta}\approx1,07941.
  • Raízes:
x_{2}\approx\frac{-2,9219753+1,07941}{2}\approx-0,9212826,
x_{3}\approx\frac{-2,9219753-1,07941}{2}\approx-2,0006926.
  • Observação: essas aproximações coincidem com o que obtivemos pela divisão com r aproximado; porém é conveniente verificar se há alguma raiz simples exata (às vezes um valor inteiro ou racional corta o polinômio exatamente).

Passo 9

Verificação de raízes inteiras/racionais simples e fatoração exata com Briott–Ruffini/Horner.
  • Teste rápido: avaliar p(-2):
p(-2)=(-2)^{3}+2(-2)^{2}-0,85(-2)-1,7=-8+8+1,7-1,7=0.
  • Conclusão: x=-2 é raiz exata do polinômio. Com isso podemos dividir exatamente por (x+2) usando Horner com r=-2:
\begin{array}{c|cccc} -2 & 1 & 2 & -0,85 & -1,7\\hline & 1 & 0 & -0,85 & 0 \end{array}
  • O polinômio depressado resultante é exatamente:
x^{2}+0\cdot x-0,85 = x^{2}-0,85.
  • Assim a fatoração exata é:
p(x)=(x+2)(x^{2}-0,85).
  • As duas raízes restantes obtêm-se imediatamente:
x=\pm\sqrt{0,85}\approx\pm0,921954445.
  • Comparando com as aproximações do passo anterior, vemos concordância: uma raiz é -2 exatamente e as outras duas são \pm\sqrt{0,85}. A primeira positiva encontrada por Newton ( \approx0,9219753) está dentro da tolerância \varepsilon=10^{-2} da raiz exata \sqrt{0,85}\approx0,9219544.

Passo 10

Resumo final (o que você deve levar para a prova e como reproduzir o procedimento).
  • Use Newton–Raphson para localizar numericamente uma raiz (aqui escolhemos x_{0}=1 e paramos quando |x_{n+1}-x_{n}|<0,01); isso deu x\approx0,9219753 (ou, com a precisão pedida, x\approx0,922).
  • Com essa raiz, aplique Horner (divisão sintética) para obter um quadrático e resolvê-lo (ou, se surgir uma raiz inteira simples, testá-la diretamente — aqui x=-2 foi verificada exatamente).
  • No caso deste polinômio a fatoração exata é (x+2)(x^{2}-0,85), o que fornece as raízes exatas e finais.

Resposta

\sqrt{0,85}
-\sqrt{0,85}
-2

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