Nos exercícios de (1-4), seja o problema de se resolver f(x)=tan(x)-x=0.
Resolva f(x)=0 utilizando o Método das Secantes. Para tanto, admita:
- |f(xk)|<ε1=10−2 ,ERROABS<ε2=10−3 e ERROREL<ε3=10−1;
- ITMAX =2
- Truncamento de oito casas.
Resolva f(x)=0 utilizando o Método das Secantes. Para tanto, admita:
Passo 1
Enunciado e dados (vou deixar tudo bem claro para não nos perder): a função é
e queremos resolver
pelo Método das Secantes. Os critérios e dados fornecidos são:
O enunciado original não traz os valores iniciais para o método das secantes (que exige duas aproximações iniciais). Vou assumir aproximações iniciais razoáveis próximas à raiz não-nula conhecida de
Obs.: escolhi essas aproximações porque a raiz que nos interessa fica perto de
— assim a secante costuma convergir rápido. Se você tiver outros
que o enunciado anterior indicou, as contas mudam, mas o procedimento é o mesmo.
Passo 2
Explicação do Método das Secantes (aulas rápidas e práticas).
O método das secantes usa duas aproximações sucessivas e
e aplica a fórmula
O método das secantes usa duas aproximações sucessivas
Ideia: aproximamos a curva por uma reta (a secante) que passa por
e
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação.
Erros que usaremos:
Erros que usaremos:
- erro absoluto entre iterações:
; - erro relativo:
; - critério sobre função:
.
Regra de parada: basta que qualquer um dos critérios seja satisfeito ou que alcancemositerações. Lembrete importante: a questão pede truncamento a 8 casas decimais — logo cada valor final de e cada que usarmos deve ser truncado a 8 casas decimais (não arredondado).
Passo 3
Calcular
e
, truncando a oito casas decimais.
Usamos .
Usamos
Para
:
Calculando (com uma calculadora) obtemos
. Truncando a oito casas decimais:
Para
:
Calculando
. Truncando a oito casas decimais:
Resumo (valores truncados a 8 casas):
Passo 4
Primeira aplicação da fórmula da secante para obter
.
A fórmula é
A fórmula é
Substituindo os valores truncados (tudo com 8 casas):
Calcule passo a passo (sempre truncando o resultado final de cada operação ao final conforme pedido):
- diferença de
: . - denominador:
. - numerador inteiro:
. - razão:
(truncando a 8 casas: ). - portanto
Truncamos
a oito casas decimais:
.
Passo 5
Avaliar
(truncando a oito casas) e checar critérios de parada.
Calculamos
Calculamos
Com calculadora obtemos
(valor aproximado antes do truncamento). Truncando a oito casas:
Logo
Truncado a oito casas:
.
Agora verificamos os critérios (usando valores truncados onde for necessário):
- critério sobre a função:
. Portanto esse critério já é satisfeito. - erro absoluto entre iterações:
. Comparando com : (não satisfeito). - erro relativo:
. Comparando com : (satisfeito).
Regra de parada: basta que qualquer critério seja satisfeito. Aqui já temos
, e também
. Além disso ainda não excedemos
(usamos 1 iteração e
). Logo paramos na iteração
(obtendo
).
Passo 6
Interpretação final e dicas para a prova (didática prática e motivadora).
- O essencial do método é aplicar a fórmula da secante e sempre manter atenção às regras de truncamento se a questão exigir (aqui foi truncamento a 8 casas).
- Ao aplicar critérios de parada, leia atentamente: se qualquer critério for satisfeito você pode parar. No nosso caso
já ficou abaixo de e , então estamos seguros para parar mesmo que o erro absoluto não tenha atingido . - Em prova, anote sempre os valores intermediários com o truncamento pedido; explique quais critérios você verificou e mostre que pelo menos um deles foi satisfeito — isso costuma garantir pontos mesmo que você não tenha conseguido a tolerância absoluta mais estrita.
- Fique calmo: se a primeira iteração já satisfaz
pequeno, ótimo — não é obrigatório usar todas as iterações possíveis.