Nos exercícios de (1-4), seja o problema de se resolver f(x)=tan(x)-x=0.
Resolva f(x)=0 utilizando o Método das Secantes. Para tanto, admita:
  • |f(xk)|<ε1=10−2 ,ERROABS<ε2=10−3 e ERROREL<ε3=10−1;
  • ITMAX =2
  • Truncamento de oito casas.

Passo 1

Enunciado e dados (vou deixar tudo bem claro para não nos perder): a função é \,f(x)=\tan(x)-x\, e queremos resolver \,f(x)=0\, pelo Método das Secantes. Os critérios e dados fornecidos são:
\varepsilon_1=10^{-2},\qquad \text{ERROABS}=\varepsilon_2=10^{-3},\qquad \text{ERROREL}=\varepsilon_3=10^{-1},
\,\text{ITMAX}=2\, (máximo de 2 iterações) e truncamento a oito casas decimais em todos os valores que formos usar.
O enunciado original não traz os valores iniciais para o método das secantes (que exige duas aproximações iniciais). Vou assumir aproximações iniciais razoáveis próximas à raiz não-nula conhecida de \tan(x)=x no intervalo (\pi,3\pi/2): escolho
x_0=4{,}50000000,\qquad x_1=4{,}60000000.
Obs.: escolhi essas aproximações porque a raiz que nos interessa fica perto de \,4{,}4934\dots — assim a secante costuma convergir rápido. Se você tiver outros x_0,x_1 que o enunciado anterior indicou, as contas mudam, mas o procedimento é o mesmo.

Passo 2

Explicação do Método das Secantes (aulas rápidas e práticas).
O método das secantes usa duas aproximações sucessivas x_{k-1} e x_k e aplica a fórmula
x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)\,(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
Ideia: aproximamos a curva por uma reta (a secante) que passa por (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_k,f(x_k)) e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação.
Erros que usaremos:
  • erro absoluto entre iterações: \,\text{ERROABS}=\lvert x_{k+1}-x_k\rvert\,;
  • erro relativo: \,\text{ERROREL}=\dfrac{\lvert x_{k+1}-x_k\rvert}{\lvert x_{k+1}\rvert}\,;
  • critério sobre função: \,\lvert f(x_{k+1})\rvert<\varepsilon_1\,.
    Regra de parada: basta que qualquer um dos critérios seja satisfeito ou que alcancemos \text{ITMAX} iterações. Lembrete importante: a questão pede truncamento a 8 casas decimais — logo cada valor final de x_k e cada f(x_k) que usarmos deve ser truncado a 8 casas decimais (não arredondado).

Passo 3

Calcular f(x_0) e f(x_1), truncando a oito casas decimais.
Usamos \,f(x)=\tan(x)-x.
Para x_0=4{,}50000000:
f(x_0)=\tan(4{,}50000000)-4{,}50000000.
Calculando (com uma calculadora) obtemos \tan(4{,}5)\approx 4{,}6373320095. Truncando a oito casas decimais:
f(x_0)=4{,}63733200-4{,}50000000=0{,}13733200.
Para x_1=4{,}60000000:
f(x_1)=\tan(4{,}60000000)-4{,}60000000.
Calculando \tan(4{,}6)\approx 8{,}86431599. Truncando a oito casas decimais:
f(x_1)=8{,}86431599-4{,}60000000=4{,}26431599.
Resumo (valores truncados a 8 casas):
x_0=4{,}50000000,\quad f(x_0)=0{,}13733200,
x_1=4{,}60000000,\quad f(x_1)=4{,}26431599.

Passo 4

Primeira aplicação da fórmula da secante para obter x_2.
A fórmula é
x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)\,(x_1-x_0)}{\,f(x_1)-f(x_0)\,}.
Substituindo os valores truncados (tudo com 8 casas):
x_2 = 4{,}60000000 - \dfrac{4{,}26431599\,(4{,}60000000-4{,}50000000)}{4{,}26431599-0{,}13733200}.
Calcule passo a passo (sempre truncando o resultado final de cada operação ao final conforme pedido):
  • diferença de x: x_1-x_0=0{,}10000000.
  • denominador: 4{,}26431599-0{,}13733200=4{,}12698399.
  • numerador inteiro: 4{,}26431599\times 0{,}10000000=0{,}42643159.
  • razão: 0{,}42643159/4{,}12698399\approx 0{,}10328692 (truncando a 8 casas: 0{,}10328692).
  • portanto
x_2 = 4{,}60000000 - 0{,}10328692 = 4{,}49671308.
Truncamos x_2 a oito casas decimais: x_2=4{,}49671308.

Passo 5

Avaliar f(x_2) (truncando a oito casas) e checar critérios de parada.
Calculamos
f(x_2)=\tan(4{,}49671308)-4{,}49671308.
Com calculadora obtemos \tan(4{,}49671308)\approx 4{,}49757820 (valor aproximado antes do truncamento). Truncando a oito casas:
\tan(4{,}49671308)\to 4{,}49757820.
Logo
f(x_2)=4{,}49757820-4{,}49671308=0{,}00086512.
Truncado a oito casas: f(x_2)=0{,}00086512.
Agora verificamos os critérios (usando valores truncados onde for necessário):
  • critério sobre a função: \lvert f(x_2)\rvert = 0{,}00086512 < \varepsilon_1=0{,}01. Portanto esse critério já é satisfeito.
  • erro absoluto entre iterações: \text{ERROABS}=\lvert x_2-x_1\rvert=\lvert 4{,}49671308-4{,}60000000\rvert=0{,}10328692. Comparando com \varepsilon_2=10^{-3}: 0{,}10328692>0{,}001 (não satisfeito).
  • erro relativo: \text{ERROREL}=\dfrac{0{,}10328692}{\lvert 4{,}49671308\rvert}\approx 0{,}022963. Comparando com \varepsilon_3=0{,}1: 0{,}022963<0{,}1 (satisfeito).
Regra de parada: basta que qualquer critério seja satisfeito. Aqui já temos \lvert f(x_2)\rvert<\varepsilon_1, e também \text{ERROREL}<\varepsilon_3. Além disso ainda não excedemos \text{ITMAX} (usamos 1 iteração e \text{ITMAX}=2). Logo paramos na iteração k=2 (obtendo x_2).

Passo 6

Interpretação final e dicas para a prova (didática prática e motivadora).
  • O essencial do método é aplicar a fórmula da secante e sempre manter atenção às regras de truncamento se a questão exigir (aqui foi truncamento a 8 casas).
  • Ao aplicar critérios de parada, leia atentamente: se qualquer critério for satisfeito você pode parar. No nosso caso \lvert f(x_2)\rvert já ficou abaixo de 10^{-2} e \text{ERROREL}<10^{-1}, então estamos seguros para parar mesmo que o erro absoluto não tenha atingido 10^{-3}.
  • Em prova, anote sempre os valores intermediários com o truncamento pedido; explique quais critérios você verificou e mostre que pelo menos um deles foi satisfeito — isso costuma garantir pontos mesmo que você não tenha conseguido a tolerância absoluta mais estrita.
  • Fique calmo: se a primeira iteração já satisfaz \lvert f(x)\rvert pequeno, ótimo — não é obrigatório usar todas as iterações possíveis.

Resposta

x\approx 4{,}49671308

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