Resolva por esse método as seguintes equações:
x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x\,y'' \;=\; y' + (y')^3
usando a substituição p(x)=y'(x). O conteúdo é redução de ordem em ODEs de segunda ordem quando o único termo em y'' aparece multiplicado por uma função de x e de y', e podemos transformá-la numa equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Fazendo p = \frac{dy}{dx} temos
y'' \;=\;\frac{dp}{dx},
logo a equação vira
x\,\frac{dp}{dx} \;=\; p + p^3.

Passo 3

Observamos que agora é uma equação de primeira ordem separável em p e x. Reescrevemos
\frac{dp}{p + p^3} \;=\;\frac{dx}{x}.

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo fazemos frações parciais:
\frac{1}{p(1+p^2)} = \frac{1}{p} \;-\;\frac{p}{1+p^2}.
Então
\int \frac{dp}{p + p^3} = \int\Bigl(\frac{1}{p}-\frac{p}{1+p^2}\Bigr)\,dp = \ln|p| \;-\;\tfrac12\ln(1+p^2) + C_1.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2.
Unindo constantes C=C_2-C_1,
\ln|p| - \tfrac12\ln(1+p^2) = \ln|x| + C.

Passo 5

Exponenciando e simplificando:
2\ln|p| - \ln(1+p^2) = 2\ln|x| + 2C \quad\Longrightarrow\quad \frac{p^2}{1+p^2} = K\,x^2,
onde K=e^{2C} é constante positiva (ou negativa, mas basta absorver o sinal em p).

Passo 6

Da relação \tfrac{p^2}{1+p^2}=Kx^2 segue
p^2 = \frac{Kx^2}{1 - Kx^2},
isto é
\frac{dy}{dx} = p = \pm \frac{\sqrt{K}\,x}{\sqrt{1 - Kx^2}}.

Passo 7

Integramos agora em x:
y = \pm \sqrt{K}\int \frac{x}{\sqrt{1 - Kx^2}}\,dx + C_3.
Fazendo u=1-Kx^2, du = -2Kx\,dx, temos
\int \frac{x}{\sqrt{1 - Kx^2}}\,dx = -\frac{1}{2K}\int u^{-1/2}\,du = -\frac{\sqrt{u}}{K} = -\frac{\sqrt{1-Kx^2}}{K}.
Multiplicando por \pm\sqrt{K},
y = \mp\frac{\sqrt{1-Kx^2}}{\sqrt{K}} + C_3.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = C_1 \;\pm\;\frac{1}{\sqrt{K}}\sqrt{\,1 - Kx^2\,},}
onde K e C_1 são constantes de integração.

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