Resolva por esse método as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando a substituição
. O conteúdo é redução de ordem em ODEs de segunda ordem quando o único termo em
aparece multiplicado por uma função de
e de
, e podemos transformá-la numa equação de primeira ordem em
.
Passo 2
Fazendo
temos
logo a equação vira
Passo 3
Observamos que agora é uma equação de primeira ordem separável em
e
. Reescrevemos
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo fazemos frações parciais:
Então
No lado direito,
Unindo constantes
,
Passo 5
Exponenciando e simplificando:
onde
é constante positiva (ou negativa, mas basta absorver o sinal em
).
Passo 6
Da relação
segue
isto é
Passo 7
Integramos agora em
:
Fazendo
,
, temos
Multiplicando por
,
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes de integração.