Nos Exercícios 1 e 2, suponha um nível de significância alpha=0,05 para testar a afirmação de que p1=p2. Com os tamanhos de amostra e os números de sucessos dados, determine (a) a estimativa combinada barp, (b) a estatística de teste z,(c) os valores críticos z, e(d) o valor P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente testar se as proporções $ p_1 $ e $ p_2 $ são iguais usando um nível de significância de $ \alpha = 0,05 $. Para isso, vamos precisar dos tamanhos das amostras e dos números de sucessos de cada grupo. A matéria que vamos usar aqui é teste de hipóteses para duas proporções. Vamos precisar calcular:
(a) A estimativa combinada $ \bar{p} $,
(b) A estatística de teste $ z $,
© Os valores críticos $ z_{crítico} $,
(d) O valor $ P $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a estimativa combinada $ \bar{p} $. Essa estimativa é uma média ponderada das proporções das duas amostras, levando em conta seus tamanhos.
A fórmula é:
barp
onde:
  • $ x_1 $ e $ x_2 $ são os números de sucessos nas amostras 1 e 2,
  • $ n_1 $ e $ n_2 $ são os tamanhos das amostras 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste $ z $. Essa estatística nos ajuda a determinar se a diferença entre as duas proporções observadas é significativa.
A fórmula para $ z $ é:
z
onde:
  • $ p_1 = \frac{x_1}{n_1} $ e $ p_2 = \frac{x_2}{n_2} $ são as proporções das amostras 1 e 2,
  • $ \bar{p} $ é a estimativa combinada que calculamos no passo anterior.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar os valores críticos $ z_{crítico} $ para o nosso nível de significância $ \alpha = 0,05 $. Como estamos realizando um teste bilateral (queremos saber se $ p_1 $ é diferente de $ p_2 $, sem especificar direção), dividimos $ \alpha $ em duas partes: uma para cada extremidade da distribuição.
Os valores críticos são:
zcrítico í
Isso significa que se o nosso $ z $ calculado for menor que -1,96 ou maior que 1,96, rejeitamos a hipótese de que $ p_1 = p_2 $.

Passo 5

Por último, vamos encontrar o valor $ P $, que é a probabilidade de observarmos um valor de $ z $ tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula $ p_1 = p_2 $ é verdadeira.
Calculamos o valor $ P $ usando a distribuição normal padrão. É dado por:
P
Isso porque estamos considerando ambas as extremidades da distribuição (positiva e negativa).

Resposta

Seguindo os passos acima, com os dados das amostras $ n_1, x_1, n_2, x_2 $, você pode calcular:
(a) A estimativa combinada:
n1, x1, n2, x2
(b) A estatística de teste:
barp = x1 + x2n1 + n2
© Os valores críticos:
z = p1 - p2raizbarp(1 - barp)(1n1 + 1n2) í
(d) O valor $ P $:
zcrítico = pm 1,96
Com esses cálculos, você poderá concluir se rejeita ou não a hipótese de que $ p_1 = p_2 $ com base no nível de significância de 5%.

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