Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial:
y^prime prime(t)+5 y^prime(t)+6 y(t)=e^-t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver uma EDO de segunda ordem com condições iniciais usando Transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve entender como a transformada age sobre derivadas, resolver uma equação algébrica em Y(s) e depois voltar ao domínio do tempo com a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo de y''(t)+5y'(t)+6y(t)=e^-t, lembrando que
Ly''(t)=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0),
Ly'(t)=sY(s)-y(0),
Ly(t)=Y(s),
e que Le^-t=1s+1. Substituindo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 ficamos com
(s^2Y(s)-s)+5(sY(s)-1)+6Y(s)=1s+1

Passo 3

Agrupando os termos de Y(s) e passando o restante para o outro lado:
Y(s)(s^2+5s+6)=1s+1+(s+5)
Como s^2+5s+6=(s+2)(s+3), temos
Y(s)=s+5(s+2)(s+3)+1(s+1)(s+2)(s+3)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais de cada termo.
Primeiro,
s+5(s+2)(s+3)=3s+2-2s+3
Depois,
1(s+1)(s+2)(s+3)=1/2s+1-1s+2+1/2s+3
Somando tudo:
Y(s)=12cdot1s+1+2s+2-3/2s+3

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo, lembrando que L^-11/(s+a)=e^-at, obtemos
y(t)=tfrac12e^-t+2e^-2t-tfrac32e^-3t

Passo 6

Verificamos as condições iniciais rapidamente: y(0)=1/2+2-3/2=1 e y'(0)=-1/2-4+9/2=0, tudo confere.

Resposta

y(t)=tfrac12e^-t+2e^-2t-tfrac32e^-3t

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