Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver uma EDO de segunda ordem com condições iniciais usando Transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve entender como a transformada age sobre derivadas, resolver uma equação algébrica em
e depois voltar ao domínio do tempo com a transformada inversa.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo de
, lembrando que
e que
. Substituindo as condições iniciais
e
ficamos com
Passo 3
Agrupando os termos de
e passando o restante para o outro lado:
Como
, temos
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais de cada termo.
Primeiro,
Primeiro,
Depois,
Somando tudo:
Passo 5
Aplicando a transformada inversa em cada termo, lembrando que
, obtemos
Passo 6
Verificamos as condições iniciais rapidamente:
e
, tudo confere.