Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
onde as condições iniciais são
e
.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
Passo 1
Somos dados a EDO de segunda ordem homogênea com condições iniciais. O tópico é Transformada de Laplace e vamos precisar das propriedades:
,
, além de tabelas padrão de transformadas inversas.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados de
Usando linearidade e as propriedades de derivadas, obtemos:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais
e
na equação em
:
Ou seja,
Passo 4
Reconhecemos que
. Assim,
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo o sistema
vem
,
.
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, sabendo que
. Logo,
Resposta
y(t) = 7e^{-2t} - 5e^{-3t}