Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime(t)+5 y^prime(t)+6 y(t)=0,
onde as condições iniciais são y(0)=2 e y^prime(0)=1.

Passo 1

Somos dados a EDO de segunda ordem homogênea com condições iniciais. O tópico é Transformada de Laplace e vamos precisar das propriedades: Ly' = sY(s) - y(0), Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0), além de tabelas padrão de transformadas inversas.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados de
y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 0
Usando linearidade e as propriedades de derivadas, obtemos:
(s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 5(sY(s) - y(0)) + 6Y(s) = 0

Passo 3

Substituímos as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1 na equação em Y(s):
(s^2 + 5s + 6)Y(s) - (2s + 1 + 10) = 0
Ou seja,
Y(s)(s^2 + 5s + 6) = 2s + 11

Passo 4

Reconhecemos que s^2 + 5s + 6 = (s+2)(s+3). Assim,
Y(s) = 2s + 11(s+2)(s+3)
Fazemos a decomposição em frações parciais:
2s+11(s+2)(s+3) = As+2 + Bs+3
Resolvendo o sistema
A + B = 2, 3A + 2B = 11
vem A = 7, B = -5.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, sabendo que L^-11/(s+a) = e^-at. Logo,
y(t) = 7e^-2t - 5e^-3t

Resposta

y(t) = 7e^{-2t} - 5e^{-3t}

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