Resolva o sistema:
e
.
Passo 1
O sistema é linear de segunda ordem em duas variáveis com coeficientes constantes. Vamos transformar em uma única equação para x(t) e depois recuperar y(t).
Passo 2
Da primeira equação temos
Derivando em relação a t e igualando à segunda equação
obtemos
Multiplicando por 3 e agrupando termos:
Passo 3
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução geral de x(t) é
Passo 4
Usando as condições iniciais: de x(0)=1 segue C_1=1. E de x’(0)=2 (pois x’(0)=2·1+3·0=2) calcule o derivado geral e avalie em t=0, resultando em C_2=1/\sqrt{11}. Substituindo C_1 e C_2 em x(t) e recuperando y(t) por
chegamos a
Resposta
x(t)=e^{\tfrac{3}{2}t}\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}t\bigr)+\tfrac{1}{\sqrt{11}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}t\bigr)\Bigr),\quad y(t)=-\tfrac{2}{\sqrt{11}},e^{\tfrac{3}{2}t}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}t\bigr)