Resolva o sistema:
l d xd t=2 x+3 y d yd t=-x+y
com x(0)=1 e y(0)=0.

Passo 1

O sistema é linear de segunda ordem em duas variáveis com coeficientes constantes. Vamos transformar em uma única equação para x(t) e depois recuperar y(t).

Passo 2

Da primeira equação temos
y = 13l(x' - 2xr)
Derivando em relação a t e igualando à segunda equação y'=-x+y obtemos
13l(x'' - 2x'r)= -x + 13l(x' - 2xr)
Multiplicando por 3 e agrupando termos:
x'' - 2x' = -3x + x' - 2x Longrightarrow x'' - 3x' + 5x = 0

Passo 3

A equação característica é
r^2 - 3r + 5 = 0,
cuja solução é
r = 32 pm iraiz112
Logo a solução geral de x(t) é
x(t)=e^32tl(C1cosl(tfracraiz112tr)+C2sinl(tfracraiz112tr)r)

Passo 4

Usando as condições iniciais: de x(0)=1 segue C_1=1. E de x’(0)=2 (pois x’(0)=2·1+3·0=2) calcule o derivado geral e avalie em t=0, resultando em C_2=1/\sqrt{11}. Substituindo C_1 e C_2 em x(t) e recuperando y(t) por
y=13(x'-2x),
chegamos a
x(t)=e^32tl(cosl(tfracraiz112tr)+tfrac1raiz11sinl(tfracraiz112tr)r),
y(t)=-2raiz11,e^32tsinl(tfracraiz112tr)

Resposta

x(t)=e^{\tfrac{3}{2}t}\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}t\bigr)+\tfrac{1}{\sqrt{11}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}t\bigr)\Bigr),\quad y(t)=-\tfrac{2}{\sqrt{11}},e^{\tfrac{3}{2}t}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}t\bigr)

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