varphi^prime(t)+integral0^t(t-xi) varphi(xi) d xi=t ; varphi(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial que envolve a derivada de uma função varphi(t) e uma integral dessa função. A equação é:
varphi^prime(t) + integral0^t (t - xi) varphi(xi) , dxi = t ; varphi(0) = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais integro-diferenciais, onde misturamos derivadas e integrais da função que queremos encontrar. Para resolver, precisaremos manipular a equação para isolar varphi(t), usando técnicas de cálculo como derivação e resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Observamos que temos uma integral na equação com um termo (t - xi). Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a t para eliminar a integral.
Antes de derivar, vamos reescrever a equação para deixar claro:
varphi^prime(t) + integral0^t (t - xi) varphi(xi) , dxi = t

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a t. Lembrando que a derivada de uma integral com limite variável pode ser calculada usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Derivando o lado esquerdo:
ddt [ varphi^prime(t) + integral0^t (t - xi) varphi(xi) , dxi ] = varphi^primeprime(t) + ddt [ integral0^t (t - xi) varphi(xi) , dxi ]
A derivada da integral é:
ddt [ integral0^t (t - xi) varphi(xi) , dxi ] = integral0^t partialpartial t (t - xi) varphi(xi) , dxi + (t - t) varphi(t)
Simplificando:
integral0^t varphi(xi) , dxi
Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:
varphi^primeprime(t) + integral0^t varphi(xi) , dxi
Derivando o lado direito, que é t:
ddt (t) = 1

Passo 4

Agora, temos a seguinte equação após a derivação:
varphi^primeprime(t) + integral0^t varphi(xi) , dxi = 1
Vamos observar que a integral integral0^t varphi(xi) , dxi é, na verdade, a função primitiva de varphi(t), que pode ser representada como I(t). Ou seja:
I(t) = integral0^t varphi(xi) , dxi
Então, a equação fica:
varphi^primeprime(t) + I(t) = 1
Agora, vamos derivar novamente para eliminar a integral I(t). Derivando ambos os lados:
ddt [varphi^primeprime(t) + I(t)] = ddt (1)
Isso resulta em:
varphi'''(t) + varphi(t) = 0

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial de terceira ordem:
varphi'''(t) + varphi(t) = 0
Para resolver essa equação, vamos procurar soluções da forma varphi(t) = e^rt, onde r é uma constante que vamos determinar.
Substituindo na equação:
(r^3 + 1) e^rt = 0
Para que isso seja verdadeiro para todo t, precisamos que:
r^3 + 1 = 0 Rightarrow r^3 = -1 Rightarrow r = -1
Portanto, uma solução particular é:
varphi(t) = e^-t

Passo 6

No entanto, como estamos lidando com uma equação diferencial de ordem superior, precisamos considerar as condições iniciais para encontrar a solução completa. Sabemos que varphi(0) = 0.
Vamos aplicar a condição inicial à nossa solução:
varphi(0) = e^0 = 1 neq 0
Ou seja, precisamos ajustar nossa solução para atender à condição inicial. Para isso, consideramos a solução geral da equação homogênea, que inclui combinações lineares das soluções encontradas. Mas, como nossa solução foi simples, ajustamos com um coeficiente:
varphi(t) = A e^-t
Aplicando varphi(0) = 0:
A e^0 = A = 0
Isso sugere que nossa constante A é zero, o que nos leva a uma solução trivial. Para encontrar uma solução não trivial, precisamos rever nosso método ou considerar termos adicionais na solução geral.

Passo 7

Vamos reconsiderar a equação original e tentar uma abordagem alternativa.
Voltando à equação após o Passo 3:
varphi^primeprime(t) + integral0^t varphi(xi) , dxi = 1
Vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral:
varphi'''(t) + varphi(t) = 0
A solução geral dessa equação diferencial homogênea é:
varphi(t) = C1 e^-t + C2 cos(t) + C3 sin(t)
Agora, aplicamos a condição inicial varphi(0) = 0:
varphi(0) = C1 + C2 = 0 Rightarrow C1 = -C2
Portanto, a solução fica:
varphi(t) = -C2 e^-t + C2 cos(t) + C3 sin(t)
Para determinar C2 e C3, precisaríamos de mais condições iniciais, que não foram fornecidas no enunciado. Assim, nossa solução geral é expressa em termos dessas constantes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
varphi(t) = C1 e^-t + C2 cos(t) + C3 sin(t)
Onde C1, C2 e C3 são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais adicionais.

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