Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial que envolve a derivada de uma função
e uma integral dessa função. A equação é:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais integro-diferenciais, onde misturamos derivadas e integrais da função que queremos encontrar. Para resolver, precisaremos manipular a equação para isolar
, usando técnicas de cálculo como derivação e resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Observamos que temos uma integral na equação com um termo
. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
para eliminar a integral.
Antes de derivar, vamos reescrever a equação para deixar claro:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a
. Lembrando que a derivada de uma integral com limite variável pode ser calculada usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Derivando o lado esquerdo:
A derivada da integral é:
Simplificando:
Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito, que é
:
Passo 4
Agora, temos a seguinte equação após a derivação:
Vamos observar que a integral
é, na verdade, a função primitiva de
, que pode ser representada como
. Ou seja:
Então, a equação fica:
Agora, vamos derivar novamente para eliminar a integral
. Derivando ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial de terceira ordem:
Para resolver essa equação, vamos procurar soluções da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Substituindo na equação:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, precisamos que:
Portanto, uma solução particular é:
Passo 6
No entanto, como estamos lidando com uma equação diferencial de ordem superior, precisamos considerar as condições iniciais para encontrar a solução completa. Sabemos que
.
Vamos aplicar a condição inicial à nossa solução:
Ou seja, precisamos ajustar nossa solução para atender à condição inicial. Para isso, consideramos a solução geral da equação homogênea, que inclui combinações lineares das soluções encontradas. Mas, como nossa solução foi simples, ajustamos com um coeficiente:
Aplicando
:
Isso sugere que nossa constante
é zero, o que nos leva a uma solução trivial. Para encontrar uma solução não trivial, precisamos rever nosso método ou considerar termos adicionais na solução geral.
Passo 7
Vamos reconsiderar a equação original e tentar uma abordagem alternativa.
Voltando à equação após o Passo 3:
Vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral:
A solução geral dessa equação diferencial homogênea é:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Portanto, a solução fica:
Para determinar
e
, precisaríamos de mais condições iniciais, que não foram fornecidas no enunciado. Assim, nossa solução geral é expressa em termos dessas constantes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
,
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais adicionais.