Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial com transformada de Laplace:
onde as condições iniciais são
e
.
Resolva a equação diferencial com transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com forçamento por delta de Dirac, ou seja,
, sujeita a
e
. Vamos usar a Transformada de Laplace e o Teorema do Deslocamento no Tempo.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que para uma função
com condições iniciais
e
temos:
e também
. Assim a equação transformada fica:
Passo 3
Fatorando
:
Passo 4
Como
, obtemos
Passo 5
Fazemos frações parciais em
:
Passo 6
Resolvendo, temos
e
, logo:
Passo 7
Usamos agora o Teorema do Deslocamento no tempo: se
então
. Aqui
e
. Portanto
Resposta
y(t)=\frac{1}{3}\bigl(e{-2(t-2)}-e{-5(t-2)}\bigr),u(t-2)