Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial com transformada de Laplace:
y^prime prime(t)+7 y^prime(t)+10 y(t)=de
onde as condições iniciais são y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com forçamento por delta de Dirac, ou seja, y^primeprime(t)+7y^prime(t)+10y(t)=de, sujeita a y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar a Transformada de Laplace e o Teorema do Deslocamento no Tempo.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que para uma função y(t) com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0 temos:
Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s),
Ly'(t)=sY(s)-y(0)=sY(s),
e também Lde. Assim a equação transformada fica:
s^2Y(s)+7sY(s)+10Y(s)=e^-2s

Passo 3

Fatorando Y(s):
Y(s)l(s^2+7s+10r)=e^-2s

Passo 4

Como s^2+7s+10=(s+2)(s+5), obtemos
Y(s)=e^-2s(s+2)(s+5)

Passo 5

Fazemos frações parciais em 1/[(s+2)(s+5)]:
1(s+2)(s+5)=As+2+Bs+5

Passo 6

Resolvendo, temos A=1/3 e B=-1/3, logo:
Y(s)=e^-2scdot13l(1s+2-1s+5r)

Passo 7

Usamos agora o Teorema do Deslocamento no tempo: se F(s)=Lf(t) então L^-1e^-asF(s)=u(t-a)f(t-a). Aqui
f(t)=13l(e^-2t-e^-5tr)
e a=2. Portanto
y(t)=u(t-2)13l(e^-2(t-2)-e^-5(t-2)r)

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\bigl(e{-2(t-2)}-e{-5(t-2)}\bigr),u(t-2)

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