Resolva o problema de valor inicial:
l d xd t=4 x+5 y d yd t=-x+6 y
com x(0)=1 e y(0)=0.

Passo 1

O problema é um sistema linear de EDOs de 1ª ordem com coeficientes constantes, dado por X'=A X e condições iniciais. Aqui o conteúdo é resolução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores, e vamos precisar formular o sistema em matriz, encontrar os autovalores de A, seus autovetores e usar combinação linear para satisfazer as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial X'=A X, onde
A=4 & 5-1 & 6, X(t)=x(t)y(t)

Passo 3

O passo seguinte é achar o polinômio característico de A e seus autovalores. Calculamos
detl(A-lambda Ir)=(4-lambda)(6-lambda)+5=lambda^2-10lambda+29,cuja solução é
lambda=10pmraiz100-1162=5pm2i

Resposta

x(t)=e^{5t}\bigl(\cos2t-\tfrac12\sin2t\bigr),\quad y(t)=-\tfrac12,e^{5t}\sin2t

Exercícios relacionados