Resolva o problema de valor inicial:
e
.
Passo 1
O problema é um sistema linear de EDOs de 1ª ordem com coeficientes constantes, dado por
e condições iniciais. Aqui o conteúdo é resolução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores, e vamos precisar formular o sistema em matriz, encontrar os autovalores de
, seus autovetores e usar combinação linear para satisfazer as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde
Passo 3
O passo seguinte é achar o polinômio característico de
e seus autovalores. Calculamos
Resposta
x(t)=e^{5t}\bigl(\cos2t-\tfrac12\sin2t\bigr),\quad y(t)=-\tfrac12,e^{5t}\sin2t