Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem
Usaremos Transformada de Laplace para converter a equação diferencial em uma equação algébrica em
e depois aplicaremos a transformada inversa. Para isso precisamos das fórmulas:
Passo 2
Aplicando Laplace em cada termo da equação e usando as condições iniciais
,
, temos:
Agrupando os termos em
:
Portanto
Passo 3
Fatorando o denominador
e separando a expressão, escrevemos
Passo 4
Para o primeiro termo fazemos frações parciais:
Para o segundo termo adotamos a decomposição
Calculando os coeficientes, obtemos
,
,
,
.
Passo 5
Reescrevendo
com todos os termos:
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando que
-
-
-
Isso dá a solução no domínio do tempo.
Passo 7
A solução fica então