Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial:
y^prime prime(t)-y^prime(t)-6 y(t)=sin (t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem
y''(t)-y'(t)-6y(t)=sin(t), y(0)=0, y'(0)=1
Usaremos Transformada de Laplace para converter a equação diferencial em uma equação algébrica em s e depois aplicaremos a transformada inversa. Para isso precisamos das fórmulas:
  • Ly'(t)=sY(s)-y(0)
  • Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
  • Lsin(t)=1/(s^2+1)

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo da equação e usando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, temos:
(s^2Y(s)-1)-(sY(s))-6Y(s)=1s^2+1
Agrupando os termos em Y(s):
Y(s)(s^2-s-6)-1=1s^2+1
Portanto
Y(s)=1+1s^2+1s^2-s-6

Passo 3

Fatorando o denominador s^2-s-6=(s-3)(s+2) e separando a expressão, escrevemos
Y(s)=1(s-3)(s+2)+1(s^2+1)(s-3)(s+2)

Passo 4

Para o primeiro termo fazemos frações parciais:
1(s-3)(s+2)=1/5s-3-1/5s+2
Para o segundo termo adotamos a decomposição
1(s^2+1)(s-3)(s+2)=As-3+Bs+2+Cs+Ds^2+1
Calculando os coeficientes, obtemos
A=1/50, B=-1/25, C=1/50, D=-7/50.

Passo 5

Reescrevendo Y(s) com todos os termos:
Y(s)=11501s-3-6251s+2+150ss^2+1-7501s^2+1

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando que
  • L^-11/(s-a)=e^at
  • L^-1s/(s^2+1)=cos t
  • L^-11/(s^2+1)=sin t
    Isso dá a solução no domínio do tempo.

Passo 7

A solução fica então

Resposta

y(t)=1150e^3t-625e^-2t+150cos t-750sin t

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