Exercícios com Transformada de Laplace.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial com um termo descontinuo:
y^prime prime(t)+6 y^prime(t)+9 y(t)=u(t-1)
onde as condições iniciais são y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e entrada descontínua: \ y’’(t)+6y’(t)+9y(t)=u(t-1), com y(0)=0 e y’(0)=1. Vamos usar a Transformada de Laplace e a propriedade do deslocamento no tempo para lidar com u(t–1).

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo, lembrando que \ L{y’’}=s^2Y(s)−sy(0)−y’(0), L{y’}=sY(s)−y(0) e L{u(t−1)}=e^{−s}/s, obtemos: \ (s2Y(s)−1)+6(sY(s)−0)+9Y(s)=\frac{e{−s}}{s}. Simplificando: \ (s2+6s+9)Y(s)−1=\frac{e{−s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s): \ (s+3)2Y(s)=1+\frac{e{−s}}{s} \ portanto \ Y(s)=\frac{1}{(s+3)2}+\frac{e{−s}}{s(s+3)^2}.

Passo 4

O primeiro termo, 1/(s+3)^2, inverte diretamente para t e^−3t. Para o segundo, usamos o Teorema do Deslocamento: \ Se F(s)=1/(s(s+3)^2), então L^−1e^−sF(s)=u(t−1)f(t−1), onde (f(t)=L^{−1}{F(s)}. Vamos decompor F(s)=1/(s(s+3)^2) em frações parciais: \ 1s(s+3)^2=As+Bs+3+C(s+3)^2 Achamos A=1/9, B=−1/9 e C=−1/3.

Passo 5

Invertendo cada fração parcial: \ (L^{−1}{A/s}=\tfrac{1}{9},\quad L{−1}{B/(s+3)}=−\tfrac{1}{9}e{−3t},\quad L{−1}{C/(s+3)2}=−\tfrac{1}{3}t e^{−3t}.\
Então \ f(t)=\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e^{−3t}-\frac{1}{3}t e^{−3t}.

Passo 6

Aplicando o deslocamento de 1 em f(t): \ L{−1}{e{−s}/(s(s+3)2)}=u(t-1)\Bigl[\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e{−3(t-1)}-\frac{1}{3}(t-1)e^{−3(t-1)}\Bigr].

Passo 7

Somando as partes homogênea e particular, obtemos a solução no tempo: \ y(t)=t e{−3t}+u(t-1)\Bigl[\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e{−3(t-1)}-\frac{1}{3}(t-1)e^{−3(t-1)}\Bigr].

Resposta

y(t)=t e{-3t}+u(t-1)\left[\frac{1}{9}-\frac{1}{9}e{-3(t-1)}-\frac{1}{3}(t-1)e^{-3(t-1)}\right]

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