Resolva o problema de valor inicial:
e
.
Passo 1
Estamos resolvendo um problema de valor inicial para um sistema linear de EDOs de primeira ordem:
Temos o sistema
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz do sistema:
Calculamos o polinômio característico:
Resolvendo
obtemos os autovalores
e
.
Passo 3
Para cada autovalor, achamos um autovetor não nulo:
Para :
Para
Um autovetor associado é
.
Para :
Para
Um autovetor é
.
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções associadas:
Passo 5
Impondo as condições iniciais em
:
Resolvendo esse sistema: da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos as soluções explícitas: