Resolva o problema de valor inicial:
l d xd t=7 x+2 y d yd t=3 x+6 y
com x(0)=0 e y(0)=1.

Passo 1

Estamos resolvendo um problema de valor inicial para um sistema linear de EDOs de primeira ordem:
Temos o sistema dxdt=7x+2y,dydt=3x+6ycom condições iniciais x(0)=0 e y(0)=1. Vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz do sistema:
A=7 & 23 & 6
Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det7-lambda & 23 & 6-lambda=(7-lambda)(6-lambda)-6=lambda^2-13lambda+36
Resolvendo lambda^2-13lambda+36=0 obtemos os autovalores lambda1=9 e lambda2=4.

Passo 3

Para cada autovalor, achamos um autovetor não nulo:
Para lambda1=9:
Um autovetor associado é (A-9I)v=0implies-2 & 23 & -3xy=0implies x=y .
Para v1=(1,1)^T:
Um autovetor é lambda2=4.

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções associadas:
x(t)y(t)=C1e^9t11+C2e^4t2-3

Passo 5

Impondo as condições iniciais em t=0:
x(0)=C1+2C2=0,y(0)=C1-3C2=1
Resolvendo esse sistema: da primeira equação C1=-2C2. Substituindo na segunda:
(-2C2)-3C2=1implies -5C2=1implies C2=-tfrac15,C1=2/5

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos as soluções explícitas:

Resposta

x(t)=25e^9t-25e^4t, y(t)=25e^9t+35e^4t

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