Resolva o sistema de equaçõos diferenciais:
dd t[l x1 x2 x3 ]=[ccc 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 0 & -2 ][l x1 x2 x3 ]
com as condições iniciais x1(0)=3, x2(0)=-2, x3(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais x'=Ax com
A=1&2&30&-1&42&0&-2 e condição inicial x(0)=(3,-2,1)^T. O conteúdo aqui é
équações diferenciais lineares de primeira ordem; vamos precisar achar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=lambda^3+2lambda^2-7lambda-24=0
As raízes são
lambda1=3, lambda2,3=-tfrac52pmtfracraiz72i

Passo 3

Para lambda1=3, resolvemos (A-3I)v=0. Isso dá o autovetor
v1=(5,2,2)^T

Passo 4

Para lambda2=-tfrac52+tfracraiz72i, achamos um autovetor complexo v2=P+iQ. Um cálculo detalhado leva a
P=-tfrac12-32, Q=tfracraiz72-raiz70

Passo 5

A parte real da solução geral é combinação de três vetores:
e^3tv1 e
as soluções reais vindas de v2, isto é
x(t)=c1e^3tv1+c2e^-5t/2(Pcostfracraiz72t -Qsintfracraiz72t)+c3e^-5t/2(Psintfracraiz72t+Qcostfracraiz72t)

Passo 6

Impondo x(0)=(3,-2,1)^T, obtemos o sistema para c1,c2,c3. A solução desse sistema dá
c1=tfrac38, c2=tfrac18, c3=tfrac198raiz7

Passo 7

Por fim, substituímos c1,c2,c3 na solução geral e simplificamos cada componente para chegar em expressões explícitas de x1(t),x2(t),x3(t).

Resposta

A solução do sistema com as condições iniciais é
x1(t)=158e^3t+e^-tfrac52t(98costfracraiz72t-138raiz7sintfracraiz72t)
x2(t)=34e^3t+e^-tfrac52t(-114costfracraiz72t-254raiz7sintfracraiz72t)
x3(t)=34e^3t+e^-tfrac52t(14costfracraiz72t+194raiz7sintfracraiz72t)

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