com as condições iniciais x1(0)=3, x2(0)=-2, x3(0)=1.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais x'=Ax com A=1&2&30&-1&42&0&-2 e condição inicial x(0)=(3,-2,1)^T. O conteúdo aqui é
équações diferenciais lineares de primeira ordem; vamos precisar achar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e depois usar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=lambda^3+2lambda^2-7lambda-24=0
As raízes são
lambda1=3, lambda2,3=-tfrac52pmtfracraiz72i
Passo 3
Para lambda1=3, resolvemos (A-3I)v=0. Isso dá o autovetor
v1=(5,2,2)^T
Passo 4
Para lambda2=-tfrac52+tfracraiz72i, achamos um autovetor complexo v2=P+iQ. Um cálculo detalhado leva a
P=-tfrac12-32, Q=tfracraiz72-raiz70
Passo 5
A parte real da solução geral é combinação de três vetores: e^3tv1 e
as soluções reais vindas de v2, isto é