Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointc[(y+2 z) d x+(2 z+x) d y+(x+y) d z], onde C é a intersecção das superfícies x^2+y^2+z^2=a^2 e x=a2. Considerar os dois sentidos de percurso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha ao contorno de uma superfície com uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o conceito de rotacional e escolher uma superfície que tenha a curva como contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F = (y + 2z), i + (2z + x), j + (x + y), k dado na integral de linha:
Precisamos calcular o rotacional desse campo, que é representado por .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional nabla times F = ( partial (x + y)partial y - partial (2z + x)partial z ) i + ( partial (y + 2z)partial z - partial (x + y)partial x ) j + ( partial (2z + x)partial x - partial (y + 2z)partial y ) k :
nabla times F = (1 - 2) i + (2 - 1) j + (1 - 1) k = (-1), i + (1), j + (0), k
Calculando as derivadas parciais:
nabla times F = -i + j
Então,

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja a curva . A curva é a intersecção das superfícies e . Isso descreve um círculo no plano com raio .
Para simplificar, vamos escolher a superfície como o disco no plano limitado pela curva .

Passo 5

Precisamos determinar o vetor normal à superfície . Como está no plano , o vetor normal é na direção do eixo . Dependendo da orientação, pode ser ou .
Vamos considerar para uma orientação e para o sentido contrário.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo (nabla times F) cdot n = (-i + j) cdot i = -1 e :

Passo 7

Agora, precisamos calcular a área A = pi r^2 da superfície ( a2 )^2 + y^2 + z^2 = a^2 Rightarrow y^2 + z^2 = a^2 - a^24 = 3a^24 . Como r = raiz3a^24 = a raiz32 é um disco no plano A = pi ( a raiz32 )^2 = pi cdot 3a^24 = 3pi a^24 com raio , a área é:
Vamos determinar o raio . A equação da esfera é e . Substituindo:
Então,
A área é:

Passo 8

Finalmente, aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = (nabla times F) cdot n cdot A = (-1) cdot 3pi a^24 = -3pi a^24
Considerando os dois sentidos de percurso, o valor da integral será positivo ou negativo dependendo da orientação escolhida para . Portanto, os dois valores possíveis são e .

Resposta

A integral de linha vale , dependendo da orientação do percurso.

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