Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é a intersecção das superfícies
e
. Considerar os dois sentidos de percurso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha ao contorno de uma superfície com uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o conceito de rotacional e escolher uma superfície que tenha a curva
como contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
dado na integral de linha:
Precisamos calcular o rotacional desse campo, que é representado por
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional
:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja a curva
. A curva
é a intersecção das superfícies
e
. Isso descreve um círculo no plano
com raio
.
Para simplificar, vamos escolher a superfície
como o disco no plano
limitado pela curva
.
Passo 5
Precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. Como
está no plano
, o vetor normal é na direção do eixo
. Dependendo da orientação, pode ser
ou
.
Vamos considerar
para uma orientação e
para o sentido contrário.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a área
da superfície
. Como
é um disco no plano
com raio
, a área é:
Vamos determinar o raio
. A equação da esfera é
e
. Substituindo:
Então,
A área é:
Passo 8
Finalmente, aplicando o Teorema de Stokes:
Considerando os dois sentidos de percurso, o valor da integral será positivo ou negativo dependendo da orientação escolhida para
. Portanto, os dois valores possíveis são
e
.
Resposta
A integral de linha vale
, dependendo da orientação do percurso.