Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é o perímetro do retângulo
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos pede para calcular a integral
onde
é o perímetro de um retângulo definido por
,
e
, no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar uma integral de linha em uma integral de superfície, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como fronteira. A fórmula é:
Aqui,
é o campo vetorial,
é o rotacional de
, e
é o vetor área da superfície.
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial
da nossa integral de linha. Comparando com a forma geral, temos:
Agora, precisamos calcular o rotacional
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 4
Com o rotacional sendo zero, a integral de superfície também será zero, já que qualquer vetor multiplicado por zero é zero. Ou seja:
De acordo com o Teorema de Stokes:
Resposta
A integral de linha é igual a zero.