Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointc(x d x+y d y+z^2 d z), onde C é o perímetro do retângulo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 4, z=4, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos pede para calcular a integral onde é o perímetro de um retângulo definido por , e , no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar uma integral de linha em uma integral de superfície, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Aqui, é o campo vetorial, é o rotacional de , e é o vetor área da superfície.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial F = (x, y, z^2) da nossa integral de linha. Comparando com a forma geral, temos:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Agora, precisamos calcular o rotacional nabla times F = (0 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0) . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,

Passo 4

Com o rotacional sendo zero, a integral de superfície também será zero, já que qualquer vetor multiplicado por zero é zero. Ou seja:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS (0, 0, 0) cdot dS = 0
De acordo com o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = 0

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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