Considere as funções vetoriais f do R^3, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando t → t0 :
f(t) = (t^3 - 1)/(t - 1) l + (t + 1)/(1 - t^2) k, t0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial quando se aproxima de 1. A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções reais aplicados a cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na componente que está na direção de :
Perceba que o numerador pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Então, substituindo na expressão original:
Agora, calculamos o limite quando tende a 1:
Portanto, a componente em tende a 3.

Passo 3

Agora, vamos analisar a componente na direção de :
Primeiro, note que o denominador pode ser fatorado:
Então, a expressão fica:
Agora, calculamos o limite quando tende a 1:
À medida que se aproxima de 1, se aproxima de 0. Dependendo de como se aproxima de 1, o denominador fica muito pequeno e positivo ou muito pequeno e negativo, fazendo com que a fração cresça sem limite, ou seja, tende a .

Resposta

O limite da função vetorial quando tende a 1 é:
Isso significa que a componente em tende a 3, enquanto a componente em tende a menos infinito.

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