Considere as funções vetoriais
do
, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 1. A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções reais aplicados a cada componente da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na componente que está na direção de
:
Perceba que o numerador
pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Então, substituindo na expressão original:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 1:
Portanto, a componente em
tende a 3.
Passo 3
Agora, vamos analisar a componente na direção de
:
Primeiro, note que o denominador pode ser fatorado:
Então, a expressão fica:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 1:
À medida que
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Dependendo de como
se aproxima de 1, o denominador fica muito pequeno e positivo ou muito pequeno e negativo, fazendo com que a fração cresça sem limite, ou seja, tende a
.
Resposta
O limite da função vetorial quando
tende a 1 é:
Isso significa que a componente em
tende a 3, enquanto a componente em
tende a menos infinito.