Considere a seguinte equaçáo diferencial em que a é uma constante real:
3 y^2+8 x^3+(a y^3+6 x y) y^prime=0
Determine o valor de a para que a equação seja exata;

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação diferencial que depende de uma constante , e o objetivo é descobrir qual valor de faz com que essa equação seja exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e calcular algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial na forma:
M(x,y) + N(x,y) , y' = 0
é exata se existir uma função partial Fpartial x = M(x,y) e partial Fpartial y = N(x,y) tal que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Isso implica que as derivadas parciais de e devem satisfazer a condição:

Passo 3

Vamos identificar 3 y^2 + 8 x^3 + (a y^3 + 6 x y) y' = 0 e M(x,y) = 3 y^2 + 8 x^3 na nossa equação:
N(x,y) = a y^3 + 6 x y
Comparando com a forma geral, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão.
Primeiro, a derivada parcial de partial Mpartial y = partialpartial y (3 y^2 + 8 x^3) = 6 y em relação a partial Npartial x = partialpartial x (a y^3 + 6 x y) = 6 y :
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = 6 y
partial Npartial x = 6 y
Vemos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 6

A condição para que a equação seja exata é satisfeita se:
6 y = 6 y
Isso é sempre verdadeiro, independentemente do valor de . Ou seja, a equação é exata para qualquer valor real de .

Resposta

O valor de pode ser qualquer número real, já que a equação é exata para qualquer .

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