Considere a seguinte equaçáo diferencial em que
é uma constante real:
Determine o valor de a para que a equação seja exata;
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação diferencial que depende de uma constante
, e o objetivo é descobrir qual valor de
faz com que essa equação seja exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e calcular algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial na forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Isso implica que as derivadas parciais de
e
devem satisfazer a condição:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Comparando com a forma geral, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Vemos que:
Passo 6
A condição para que a equação seja exata é satisfeita se:
Isso é sempre verdadeiro, independentemente do valor de
. Ou seja, a equação é exata para qualquer valor real de
.
Resposta
O valor de
pode ser qualquer número real, já que a equação é exata para qualquer
.