Seja T a superfície exterior do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x+y+z=4. Calcular
I=integral duplaS(y z d y d z+x z d z d x+x y d x d y)
onde:
S é a face de T que está no plano x y:

Passo 1

Estamos diante de um tetraedro T no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=4. A face S é a que está sobre o plano xy (ou seja, z=0). Precisamos calcular o fluxo da forma P,dy,dz + Q,dz,dx + R,dx,dy com P=yz, Q=xz e R=xy.

Passo 2

Como em S temos z=0, parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,0) com (x,y) variando em D=(x,y):x>=0,,y>=0,,x+y<=4. O vetor normal unitário “para cima” é k, mas o normal externo ao sólido aponta para baixo, ou seja, - k.

Passo 3

Na face S obtemos P=yz=0 e Q=xz=0, sobrando apenas o termo R,dx,dy = x y,dx,dy. Como o normal externo é - k, o fluxo em S fica -integral duplaD x y,dx,dy.

Passo 4

Agora calculamos o integral duplo sobre o triângulo D:
integral duplaD x y,dx,dy = integralx=0^4integraly=0^4-xx y,dy,dx = integral0^4x[y^22]0^4-xdx = 12integral0^4x(4-x)^2,dx = 323

Resposta

-\frac{32}{3}

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