Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
l 1x^2 y^prime+2x^3 y=5x^4 y(1)=2
a) Escreva a equação diferencial na forma padrão y^prime+P(x) y+Q(x)=0.
b) Encontre o fator integrante I(x)=e^integral P(x) d x.
c) Encontre a solução geral da equação diferencial sem considerar a condição inicial.
d) Encontre a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição inicial y(1)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
1x^2y'+2x^3y=5x^4, y(1)=2,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Precisamos:
a) escrever na forma padrão y'+P(x)y+Q(x)=0,
b) achar o fator integrante I(x)=e^integral P(x),dx,
c) obter a solução geral e
d) aplicar y(1)=2 para a solução particular.

Passo 2

Multiplicamos a equação por x^2 para deixar o coeficiente de y' igual a 1. Assim
x^2l(1x^2y'r)+x^2l(2x^3yr) =x^2l(5x^4r)
que simplifica para
y'+2xy=5x^2
Colocando tudo no lado esquerdo, temos a forma padrão
y'+2xy-5x^2=0,
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P(x)=2x, Q(x)=-5x^2

Passo 3

O fator integrante é
I(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral 2x,dxr) =expl(2ln|x|r) =x^2

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por I(x)=x^2:
x^2y'+2x,y-;5=0
Reconhecemos que o primeiro termo é a derivada de x^2y, pois
ddxl(x^2yr)=x^2y'+2x,y
Logo a equação torna-se
ddxl(x^2yr)-5=0 Longrightarrow ddxl(x^2yr)=5
Integrando,
x^2y=5x+C Longrightarrow y=5x+Cx^2 =5x+Cx^2

Passo 5

Para satisfazer y(1)=2, colocamos x=1:
2=51+C1^2 Longrightarrow C=2-5=-3
Assim, a solução particular é
y=5x-3x^2

Resposta

a) y'+dfrac2xy-dfrac5x^2=0
b) I(x)=x^2
c) y=dfrac5x+dfracCx^2
d) y=dfrac5x-dfrac3x^2

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