Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
a) Escreva a equação diferencial na forma padrão
.
b) Encontre o fator integrante
.
c) Encontre a solução geral da equação diferencial sem considerar a condição inicial.
d) Encontre a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição inicial
.
b) Encontre o fator integrante
c) Encontre a solução geral da equação diferencial sem considerar a condição inicial.
d) Encontre a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição inicial
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Precisamos:
a) escrever na forma padrão ,
b) achar o fator integrante ,
c) obter a solução geral e
d) aplicar para a solução particular.
a) escrever na forma padrão
b) achar o fator integrante
c) obter a solução geral e
d) aplicar
Passo 2
Multiplicamos a equação por
para deixar o coeficiente de
igual a 1. Assim
que simplifica para
Colocando tudo no lado esquerdo, temos a forma padrão
logo
Passo 3
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por
:
Reconhecemos que o primeiro termo é a derivada de
, pois
Logo a equação torna-se
Integrando,
Passo 5
Para satisfazer
, colocamos
:
Assim, a solução particular é
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)