Nos Exercícios de 1 a 4, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
com vinculo
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Queremos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ com a restrição (vínculo) $ 3x - 2y + z - 4 = 0 $. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função $ f $ quando ela está sujeita a uma restrição $ g = 0 $. A ideia é que no ponto ótimo, os gradientes dessas duas funções (a função principal e a restrição) são paralelos. Ou seja, existe um número $ \lambda $ (o multiplicador de Lagrange) tal que:
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções $ f $ e $ g $. O gradiente de uma função multivariável é um vetor composto pelas suas derivadas parciais.
Para $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $:
Para a restrição $ g(x, y, z) = 3x - 2y + z - 4 $:
Passo 4
Aplicando a equação dos multiplicadores de Lagrange $ \nabla f = \lambda \nabla g $, temos:
Isso resulta em três equações:
Além disso, temos a restrição original:
Passo 5
Vamos resolver as equações (1), (2) e (3) para expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ \lambda $.
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Passo 6
Agora, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ na equação da restrição (4) para encontrar o valor de $ \lambda $:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Somando os termos semelhantes:
Passo 8
Com $ \lambda = \frac{4}{7} $, substituímos de volta nas expressões de $ x $, $ y $ e $ z $:
Resposta
Os pontos críticos são $ \left( \frac{6}{7},\ -\frac{4}{7},\ \frac{2}{7} \right) $.