Esse problema trata da equação de calor, que descreve como o calor se propaga em um meio. Precisamos aplicar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependendo de x e outra de t:
U(x, t) = X(x)T(t)
Passo 3
Substituindo U(x, t) = X(x)T(t) na equação de calor Ut = alpha^2 Uxx, obtemos:
X(x)T'(t) = alpha^2 X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t):
T'(t)alpha^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação.
Passo 4
Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para T(t):
T'(t) + alpha^2 lambda T(t) = 0
Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
Passo 5
Resolvendo a equação para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
As soluções dependem do sinal de lambda. Vamos considerar lambda > 0:
X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x)
Passo 6
Aplicando as condições de contorno:
U(0, t) = 0 implica X(0) = 0:
A cos(0) + B sin(0) = A = 0
Então, X(x) = B sin(raizlambda x).
Ux(L, t) = 0 implica X'(L) = 0:
X'(x) = B raizlambda cos(raizlambda x)
X'(L) = B raizlambda cos(raizlambda L) = 0
Para que isso seja zero, cos(raizlambda L) = 0, o que ocorre quando:
raizlambda L = (n + 12) pi para n = 0, 1, 2, dots
Então,
lambdan = ((2n + 1)pi2L)^2
Passo 7
A solução para T(t) é:
Tn(t) = Cn e^-alpha^2 lambdan t
Substituindo lambdan:
Tn(t) = Cn e^-alpha^2 ((2n + 1)pi2L)^2 t
Passo 8
A solução geral é uma soma das soluções separadas para cada modo n: