Resolva
ll Ut=alpha^2 Ux,, & t>0,00 U(x0)=f(x) & , x in(0, L) U(0, t)=0, & t>0 Ux(L, t)=0, & t>0

Passo 1

Vamos resolver a equação de calor dada pelo sistema:
ll Ut=alpha^2 Uxx, & t>0,,00 U(x,0)=f(x) & , x in(0, L) U(0, t)=0, & t>0 Ux(L, t)=0, & t>0
Esse problema trata da equação de calor, que descreve como o calor se propaga em um meio. Precisamos aplicar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependendo de x e outra de t:
U(x, t) = X(x)T(t)

Passo 3

Substituindo U(x, t) = X(x)T(t) na equação de calor Ut = alpha^2 Uxx, obtemos:
X(x)T'(t) = alpha^2 X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t):
T'(t)alpha^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação.

Passo 4

Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para T(t):
T'(t) + alpha^2 lambda T(t) = 0
  1. Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
As soluções dependem do sinal de lambda. Vamos considerar lambda > 0:
X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x)

Passo 6

Aplicando as condições de contorno:
  1. U(0, t) = 0 implica X(0) = 0:
A cos(0) + B sin(0) = A = 0
Então, X(x) = B sin(raizlambda x).
  1. Ux(L, t) = 0 implica X'(L) = 0:
X'(x) = B raizlambda cos(raizlambda x)
X'(L) = B raizlambda cos(raizlambda L) = 0
Para que isso seja zero, cos(raizlambda L) = 0, o que ocorre quando:
raizlambda L = (n + 12) pi para n = 0, 1, 2, dots
Então,
lambdan = ((2n + 1)pi2L)^2

Passo 7

A solução para T(t) é:
Tn(t) = Cn e^-alpha^2 lambdan t
Substituindo lambdan:
Tn(t) = Cn e^-alpha^2 ((2n + 1)pi2L)^2 t

Passo 8

A solução geral é uma soma das soluções separadas para cada modo n:
U(x, t) = sumn=0^infty Bn sin((2n + 1)pi x2L) e^-alpha^2 ((2n + 1)pi2L)^2 t

Passo 9

Para encontrar os coeficientes Bn, usamos a condição inicial U(x, 0) = f(x):
f(x) = sumn=0^infty Bn sin((2n + 1)pi x2L)
Isso é uma expansão em série de Fourier usando funções seno com frequências específicas.

Resposta

A solução da equação de calor é:
U(x, t) = sumn=0^infty Bn sin((2n + 1)pi x2L) e^-alpha^2 ((2n + 1)pi2L)^2 t
onde os coeficientes Bn são determinados pela expansão em série de Fourier da condição inicial f(x).

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