Exercícios verdadeiro/falso
Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se T(c1 v1+c2 v2)=c1 T(v1)+c2 T(v2) com quaisquer vetores v1 e v2 em V e quaisquer escalares c1 e c2, então T é uma transformação linear.
(b) Se v for um vetor não nulo em V, então existe exatamente
460 uma transformação linear T: V W tal que T(-v)=-T(v).
(c) Existe exatamente uma transformação linear T: V W tal que T(u+v)=T(u-v), quaisquer que sejam os vetores uevem V.
(d) Se v0 for um vetor não nulo em V, então a fórmula T(v)=v0+v define um operador linear de V.
(e) O núcleo de uma transformação linear é um espaço vetorial.
(f) A imagem de uma transformação linear é um espaço vetorial.
(g) Se T: P6 M22 for uma transformação linear, então a nulidade de T é 3 .
(h) A função T: M22 R definida por T(A)=det(A) é uma transformação linear.
(i) A transformação linear T: M22 M22 definida por
T(A)=[ll 1 & 3 2 & 6 ] A
tem posto 1 .

Passo 1

O enunciado pede para, em cada parte de (a) a (i), determinar se uma certa afirmação sobre transformações lineares é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo envolve definição de transformação linear, núcleo, imagem, teorema do núcleo e imagem (dimensão do domínio e codomínio), e exemplos de transformações em espaços de polinômios, matrizes e escalares.

Passo 2

Para (a), a definição de transformação linear T é que, para quaisquer vetores u,v e quaisquer escalares c,d, vale
T(c,u + d,v) = c,T(u) + d,T(v)
Como a afirmação diz “se T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2) para quaisquer v1,v2 e quaisquer c1,c2, então T é linear”, isso coincide exatamente com a definição. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b), a afirmação é que, dado vneq0, “existe exatamente uma transformação linear T:Vto W tal que T(-v)=-T(v)”. Mas toda transformação linear satisfaz T(-v)=-T(v), então há infinitas. Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

Para (c), queremos T linear tal que
T(u+v)=T(u-v)forall,u,v
Pela linearidade,
T(u+v)=T(u)+T(v), T(u-v)=T(u)-T(v)
Igualando:
T(u)+T(v)=T(u)-T(v)implies2,T(v)=0implies T(v)=0 forall v,
ou seja, só a transformação nula serve, e ela é única. Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Para (d), define-se T(v)=v0+v com v0neq0. Já falha em levar 0 em 0, pois
T(0)=v0neq0,
logo não é linear. Assim, (d) é falsa.

Passo 6

Para (e), ker(T)=vmid T(v)=0. Verifica-se que 0inker(T) e que ker(T) é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço. (e) é verdadeira.

Passo 7

Para (f), Im(T)=T(v)mid vin V. Soma e multiplicação por escalar de vetores na imagem permanecem na imagem, e 0=T(0) está lá. Então a imagem é subespaço. (f) é verdadeira.

Passo 8

Para (g), dim P6=7 e dim M2times2=4. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
dimker T + dimImT = 7,
e como dimImT varia de 0 a 4, a nulidade dimker T varia de 7 a 3. Não é sempre 3. Logo, (g) é falsa.

Passo 9

Para (h), a determinante não satisfaz aditividade, pois em geral
det(A+B)neqdet(A)+det(B)
Logo T(A)=det(A) não é linear. (h) é falsa.

Passo 10

Para (i), T(A)=M,A com
M=1&32&6
M tem posto 1, de modo que M: R^2to R^2 tem imagem de dimensão 1. Cada coluna de T(A) é M vezes a coluna de A, logo cabe sempre num subespaço de dimensão 1; como são duas colunas livres nesse subespaço, dimImT=2. Portanto, o posto de T é 2, não 1, e (i) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Falsa
(i) Falsa

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