Exercícios verdadeiro/falso
Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se com quaisquer vetores e em e quaisquer escalares e , então é uma transformação linear.
(b) Se for um vetor não nulo em , então existe exatamente
460 uma transformação linear tal que .
(c) Existe exatamente uma transformação linear tal que , quaisquer que sejam os vetores uevem .
(d) Se for um vetor não nulo em , então a fórmula define um operador linear de .
(e) O núcleo de uma transformação linear é um espaço vetorial.
(f) A imagem de uma transformação linear é um espaço vetorial.
(g) Se for uma transformação linear, então a nulidade de é 3 .
(h) A função definida por é uma transformação linear.
(i) A transformação linear definida por
tem posto 1 .
Passo 1
O enunciado pede para, em cada parte de (a) a (i), determinar se uma certa afirmação sobre transformações lineares é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo envolve definição de transformação linear, núcleo, imagem, teorema do núcleo e imagem (dimensão do domínio e codomínio), e exemplos de transformações em espaços de polinômios, matrizes e escalares.
Passo 2
Para (a), a definição de transformação linear T é que, para quaisquer vetores u,v e quaisquer escalares c,d, vale
T(c,u + d,v) = c,T(u) + d,T(v)
Como a afirmação diz “se T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2) para quaisquer v1,v2 e quaisquer c1,c2, então T é linear”, isso coincide exatamente com a definição. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Para (b), a afirmação é que, dado vneq0, “existe exatamente uma transformação linear T:Vto W tal que T(-v)=-T(v)”. Mas toda transformação linear satisfaz T(-v)=-T(v), então há infinitas. Portanto, (b) é falsa.
ou seja, só a transformação nula serve, e ela é única. Logo, (c) é verdadeira.
Passo 5
Para (d), define-se T(v)=v0+v com v0neq0. Já falha em levar 0 em 0, pois
T(0)=v0neq0,
logo não é linear. Assim, (d) é falsa.
Passo 6
Para (e), ker(T)=vmid T(v)=0. Verifica-se que 0inker(T) e que ker(T) é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço. (e) é verdadeira.
Passo 7
Para (f), Im(T)=T(v)mid vin V. Soma e multiplicação por escalar de vetores na imagem permanecem na imagem, e 0=T(0) está lá. Então a imagem é subespaço. (f) é verdadeira.
Passo 8
Para (g), dim P6=7 e dim M2times2=4. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
dimker T + dimImT = 7,
e como dimImT varia de 0 a 4, a nulidade dimker T varia de 7 a 3. Não é sempre 3. Logo, (g) é falsa.
Passo 9
Para (h), a determinante não satisfaz aditividade, pois em geral
det(A+B)neqdet(A)+det(B)
Logo T(A)=det(A) não é linear. (h) é falsa.
Passo 10
Para (i), T(A)=M,A com
M=1&32&6
M tem posto 1, de modo que M: R^2to R^2 tem imagem de dimensão 1. Cada coluna de T(A) é M vezes a coluna de A, logo cabe sempre num subespaço de dimensão 1; como são duas colunas livres nesse subespaço, dimImT=2. Portanto, o posto de T é 2, não 1, e (i) é falsa.