Seja V = ^2, e defina:
W=(x, y)^2| | x mid y
Verifique se W é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ambientede como
V = R^2
e o subconjunto
W = (x,y)in R^2 mid |x|<= y
Para verificar se W é subespaço de V precisamos checar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W.
O vetor zero em R^2 é (0,0).
Como
|0| = 0 <= 0,
segue que (0,0)in W.

Passo 3

Vejamos a adição. Tome (x1,y1) e (x2,y2) em W. Então
|x1|<= y1 e |x2|<= y2
Pela desigualdade triangular,
|x1 + x2|<= |x1| + |x2|<= y1 + y2
Logo (x1+x2,,y1+y2) satisfaz |x1+x2|<= y1+y2, ou seja, está em W. Assim W é fechado sob adição.

Passo 4

Agora a multiplicação escalar. Suponha (x,y)in W e alphainR. Então |x|<= y. Considere alpha<0. Por exemplo, seja alpha=-1 e (x,y)=(1,1)in W pois |1|<=1. Então
alpha,(x,y)=(-1),(1,1)=(-1,-1)
e
|-1|=1not<= -1
Logo (-1,-1)notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como falha a fechamento sob multiplicação escalar, W não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^2.

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