Seja V
, e defina:
Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial ambientede como
e o subconjunto
Para verificar se
é subespaço de
precisamos checar três propriedades:
-
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
.
O vetor zero em é
.
Como
O vetor zero em
Como
segue que
.
Passo 3
Vejamos a adição. Tome
e
em
. Então
Pela desigualdade triangular,
Logo
satisfaz
, ou seja, está em
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora a multiplicação escalar. Suponha
e
. Então
. Considere
. Por exemplo, seja
e
pois
. Então
e
Logo
. Portanto
não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como falha a fechamento sob multiplicação escalar,
não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.