(a) Encontre uma solução geral do sistema homogêneo.
(b) Confirme que x1=1, x2=1, x3=1 é uma solução do sistema não homogêneo.
(c) Use os resultados das partes (a) e (b) para encontrar uma solução geral do sistema não homogêneo.
(d) Confira sua resposta na parte (c) resolvendo diretamente o sistema não homogêneo.’
Passo 1
O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
A= 1 & -2 & 3 2 & 1 & 4 1 & -7 & 5
e pede: (a) a solução geral de A x=0 (sistema homogêneo); (b) verificar que (1,1,1) satisfaz A x=(2,7,-1); (c) usar essa verificação e a solução do homogêneo para escrever a solução geral do sistema não homogêneo; (d) resolver diretamente o não homogêneo para confirmar o resultado. Vamos usar eliminação de Gauss e o princípio da superposição.
Passo 2
Aplicamos eliminação de Gauss ao sistema homogêneo
Fazendo e obtém-se
depois dá uma linha nula, ou seja posto escalonado com posto .
Passo 3
Da segunda linha temos 5x2-2x3=0, logo x2=tfrac25x3. Da primeira linha x1-2x2+3x3=0 leva a x1=-tfrac115x3. Tomando parâmetro t=x3,
(x1,x2,x3)=tl(-tfrac115,tfrac25,1r) =lambda(-11,2,5), lambdain R
Isso responde (a).
Passo 4
Para (b) calculamos
A111 = 1-2+32+1+41-7+5 =27-1,
logo (1,1,1) é de fato uma solução do sistema não homogêneo.
Passo 5
Pelo princípio da superposição, a solução geral de Ax=(2,7,-1) é
(x1,x2,x3)=(1,1,1)+lambda(-11,2,5), lambdain R,
respondendo (c).
Passo 6
Para (d) resolvemos direto
com as mesmas operações do homogêneo, obtendo posto e linha nula. Da segunda linha surge , da primeira . Parametrizando leva a
que reescrevendo em termos de coincide com . Confirmamos a resposta do passo anterior.
Resposta
(a) ,lambda(-11,2,5)mid lambdain R
(b) Sim, pois A(1,1,1)^T=(2,7,-1)^T
(c) (1,1,1)+lambda(-11,2,5)mid lambdain R
(d) A resolução direta produz a mesma família de soluções.