Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
6. \int 4 \sqrt{x}\left(x^{2}-2\right) d x=\frac{8 x^{3 / 2}\left(3 x^{2}-14\right)}{21}+C

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, ao derivar o lado direito
F(x)=\frac{8\,x^{\tfrac32}\bigl(3x^2-14\bigr)}{21},
obtém-se exatamente o integrando 4\sqrt{x}\,(x^2-2). Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Escrevemos
F(x)=\frac{8}{21}\;u(x)\,v(x),
com u(x)=x^{\tfrac32} e v(x)=3x^2-14. Logo
u'(x)=\frac{3}{2}x^{\tfrac12}, \quad v'(x)=6x.

Passo 3

Pela regra do produto,
F'(x) =\frac{8}{21}\bigl(u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\bigr) =\frac{8}{21}\Bigl(\frac{3}{2}x^{\tfrac12}(3x^2-14)+x^{\tfrac32}\cdot6x\Bigr).
No parêntese temos
\frac{3}{2}x^{\tfrac12}(3x^2-14)+6x\cdot x^{\tfrac32} =\frac{9}{2}x^{\tfrac52}-21x^{\tfrac12}+6x^{\tfrac52} =\frac{9+12}{2}x^{\tfrac52}-21x^{\tfrac12} =\frac{21}{2}x^{\tfrac52}-21x^{\tfrac12}.

Passo 4

Multiplicando por \tfrac{8}{21},
F'(x) =\frac{8}{21}\Bigl(\frac{21}{2}x^{\tfrac52}-21x^{\tfrac12}\Bigr) =4x^{\tfrac52}-8x^{\tfrac12} =4x^{\tfrac12}\bigl(x^2-2\bigr) =4\sqrt{x}\,(x^2-2),
que é exatamente o integrando.

Resposta

A afirmação está correta.

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