Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
5. \int 2 \sqrt{x}(x-3) d x=\frac{4 x^{3 / 2}(x-5)}{5}+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\int 2\sqrt{x}\,(x-3)\,dx = \frac{4\,x^{3/2}(x-5)}{5} + C
mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo. Vamos usar as regras de derivada de potência e produto.

Passo 2

Defina
F(x) = \frac{4}{5}\,x^{3/2}\,(x-5).
Queremos calcular F'(x) e comparar com 2\sqrt{x}\,(x-3).

Passo 3

Pela regra do produto,
F'(x) = \frac{4}{5}\,\Bigl[\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)\,(x-5) \;+\; x^{3/2}\,\frac{d}{dx}(x-5)\Bigr].
Como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr) = \frac{3}{2}\,x^{1/2}, \qquad \frac{d}{dx}(x-5)=1,
temos
F'(x) = \frac{4}{5}\,\Bigl[\frac{3}{2}\,x^{1/2}(x-5) + x^{3/2}\Bigr] = \frac{4}{5}\,\Bigl(\frac{3}{2}x^{1/2}(x-5)\Bigr) + \frac{4}{5}\,x^{3/2}.

Passo 4

Agora simplificamos:
\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{2} = \frac{6}{5},
então
F'(x) = \frac{6}{5}\,x^{1/2}(x-5) + \frac{4}{5}\,x^{3/2} = \frac{6}{5}\,x^{3/2} - 6\,x^{1/2} + \frac{4}{5}\,x^{3/2} = 2\,x^{3/2} - 6\,x^{1/2}.
Fatorando 2\,x^{1/2}, fica
F'(x) = 2\,x^{1/2}(x-3) = 2\sqrt{x}\,(x-3),
que é exatamente o integrando.

Resposta

Verificamos que
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{4\,x^{3/2}(x-5)}{5}\Bigr) = 2\sqrt{x}\,(x-3),
logo a igualdade dada está correta.

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