Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
7. \int(x-2)(x+2) d x=\frac{1}{3} x^{3}-4 x+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\int (x-2)(x+2)\,dx = \frac{1}{3}x^{3} - 4x + C
é correto, mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.

Passo 2

Definimos a função candidata à primitiva
F(x) = \frac{1}{3}x^{3} - 4x + C.
Para comprovar que F é uma antiderivada de (x-2)(x+2), calculamos sua derivada usando a regra de potência e a derivada de constante:
F'(x) = \frac{d}{dx}\!\bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}\text{(C)} = x^{2} - 4 + 0.

Passo 3

Observamos que
(x-2)(x+2) = x^{2} - 4,
portanto
F'(x) = x^{2} - 4 = (x-2)(x+2),
isto é, a derivada de F coincide com o integrando.

Resposta

A afirmação está correta, pois a derivada de \tfrac{1}{3}x^{3}-4x+C é exatamente (x-2)(x+2).

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