Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
8. \int \frac{x^{2}-1}{x^{3 / 2}} d x=\frac{2\left(x^{2}+3\right)}{3 \sqrt{x}}+C verifique seu resultado por meio de derivação.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\int \frac{x^{2}-1}{x^{3/2}}\,dx = \frac{2\bigl(x^{2}+3\bigr)}{3\sqrt{x}} + C
isto é, queremos mostrar que, ao derivar
F(x) = \frac{2\bigl(x^{2}+3\bigr)}{3\sqrt{x}} + C
obtemos o integrando \frac{x^{2}-1}{x^{3/2}}. Vamos usar regras de derivação (produto e potência) e simplificar.

Passo 2

Reescrevemos F(x) num formato mais fácil de derivar, combinando potências:
F(x) = \frac{2}{3}\,(x^{2}+3)\,x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em \;(x^{2}+3)\cdot x^{-\tfrac12}. Assim,
F'(x) = \frac{2}{3}\,\bigl[(x^{2}+3)'\,x^{-\tfrac12} \;+\;(x^{2}+3)\,(x^{-\tfrac12})'\bigr].
Calculamos as derivadas internas: (x^{2}+3)' = 2x
e (x^{-\tfrac12})' = -\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.

Passo 4

Substituindo em F'(x) e simplificando:
F'(x) = \frac{2}{3}\,\Bigl[2x\;x^{-\tfrac12} \;-\;\frac12\,(x^{2}+3)\,x^{-\tfrac32}\Bigr] = \frac{4}{3}\,x^{\tfrac12} \;-\;\frac{x^{2}+3}{3\,x^{\tfrac32}}.
Para juntar num único quociente sobre 3x^{3/2}, note que \frac{4}{3}x^{1/2} = \frac{4x^{2}}{3x^{3/2}}. Logo,
F'(x) = \frac{4x^{2} - (x^{2}+3)}{3\,x^{3/2}} = \frac{3x^{2}-3}{3\,x^{3/2}} = \frac{x^{2}-1}{x^{3/2}},
que é exatamente o integrando.

Resposta

Derivando \frac{2\bigl(x^{2}+3\bigr)}{3\sqrt{x}}+C obtemos \dfrac{x^{2}-1}{x^{3/2}}, confirmando a igualdade pedida.

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